Stetige Gruppenoperation

Beschreibung

Eine Stetige Gruppenoperation ist eine Gruppenoperation, die stetig ist.

Definition

Sei $X$ ein Topologischer Raum. Eine Gruppenoperation $G\times X\to X$ ist stetig, wenn die Abbildung $x\mapsto gx$ für alle $g\in G$ stetig ist.

Herr Hensel schreibt auch gerne $G\circlearrowleft X$

Eigenschaften

Homöomorphismus

Da die Umkehrungfunktion von $gx$ einfach $g^{-1}x$ ist und Gruppenoperationen immer bijektiv operieren, ist jede Stetige Gruppenoperation ein Homöomorphismus.

Quotient durch Gruppenoperation

Sei $G\circlearrowleft X$ eine Stetige Gruppenoperation auf einem Zweitabzählbarem Topologischen Raum. Dann ist die Quotientenabbildung $\pi :X\to X\backslash G$ offen und $X\backslash G$ ebenfalls zweitabzählbar.

Beweis Zu zeigen ist, dass $\pi (U)$ für offenes $U$ offen ist. Da jedes äquivalente Elemente in $X$ sich durch ein Gruppenelement unterscheidet gilt: ${\pi }^{-1}(\pi (U))={\bigcup }_{g\in G}gU$ Da $U$ offen ist, ist auch die Vereinigung offen und damit ist $\pi (U)$ offen.