Glatte Gruppenoperation

Beschreibung

Eine Glatte Gruppenoperation ist eine Gruppenoperation, die glatt ist.

Definition

Sei $M$ eine Glatte Mannigfaltigkeit. Eine Gruppenoperation $G\times M\to X$ ist glatt, wenn die Abbildung $x\mapsto gx$ für alle $g\in G$ glatt ist.

Eigenschaften

Sei $X$ ein Topologischer Raum, $G\circlearrowleft X$. Sei $Y=X/G$. Angenommen $U\cap gU\ne \varnothing$ durch jedes nichttriviale $g\in G$.

Dann ist für die Quotientenabbildung $\pi :X\to Y$ die Menge $\pi (U)\subseteq Y$ offen und $\pi {|}_u:U\to \pi (U)$ stetig.

Voraussetzung für Mannigfaltigkeit

Sei $M$ eine Glatte Mannigfaltigkeit, $GcirclearrowlieftM$ eine glatte, diskrete, freie dann kann man $M/G$ mit einem Atlas ausrüsten, sodass eine Glatte Mannigfaltigkeit entsteht, die für jedes $x\in M$ eine Umgebung $U$ hat sodass $\pi {|}_U\to \pi (U)$ ein Diffeomorphismus ist.