Orthogonales Polynom bezüglich Skalarprodukt

Beschreibung

Die Orthogonalen Polynome bezüglich einem Skalarprodukt, nicht zu verwechseln mit der Orthogonalität (Polynom) ist eine Folge von Polynomen, die jeweils zu $Po{l}_n(\mathbb{R})$ orthogonal ist.

Definition

Die Polynome die man durch die 3-Term-Rektursion erhält, nennt man die Orthogonalen Polynome bezüglich $\text{wink}\cdot ,\cdot$. $p_n$ bezeichnen wir als das $n$-te orthogonale Polynom.

Eigenschaften

Nullstellen

Das $n$-te Orthogonale Polynom hat genau $n$ einfache Nullstellen ${\lambda }_1,...,{\lambda }_n\in [a,b]$

Orthogonalität

Die Polynome sind jeweils paarweise orthogonal. Sie bilden also ein Orthogonalsystem (Polynom).

Beispiele

Einfache Gewichtung

Mit dem durch $\rho \equiv 1$ auf $[-1,1]$ induzierten Gewichtetes Funktionenskalarprodukt erhält man die vier ersten orthogonalen Polynome:

• $p_0(x)=1$
• $p_1(x)=x$
• $p_2(x)=x^2-\frac{1}{3}$
• $p_3(x)=x^3-\frac{3}{5}x$