Infinitesimal stabile Abbildung

Beschreibung

Infinitesimale Stabilität (無限小安定、むげんしょうあんてい) ist eine Variation der Stabile Abbildung.

Definition

Eine glatte Abbildung $f:N\to P$ wird infinitesimal stabil genannt, wenn $\Gamma (f^{\ast }TP)=tf(\Gamma (TN))+\omega f(\Gamma (TP))$ wobei $tf:\Gamma (TN)\to \Gamma (f^{\ast }TP)$, $\omega f:\Gamma (TP)\to \Gamma (f^{\ast }TP)$ definiert sind durch $tf(\xi )=df\circ \xi$, $\omega f(\nu )=\nu \circ f$. $f^{\ast }TP$ ist hierbei das Pullback-Bündel.

Charakterisierung durch lokale Stabilität

Eine Abbildung ist genau dann infinitesimal stabil, wenn sie eine Lokal stabile Abbildung und in allen kritischen Punkten $f{|}_{\Sigma (f)}$ eigentlich ist.

Eigenschaften

Kein Spezialfall von Stabilität

Aus Stabilität folgt nicht sofort infinitesimale Stabilität Die Funktion $f_1(x):=\exp (x)\sin (x)$ zeigt dies.

Übung

Infinitesimale Stabilität kann als surjektivität des differentials von $l^t:\mathcal{A}\to C^{\infty }(N,P),(\Phi ,\varphi )\mapsto \varphi \circ f\circ {\Phi }^{-1}$ in $1_A$ betrachtet werden.

Beispiele

Parabel

Die Abbildung $f:x\mapsto x^2$ ist infinitesimal stabil. (Sie ist außerdem stabil aber das ist ziemlich schwerig zu zeigen) Die Abbildungen $f:x\mapsto x^k$ für $k\ge 3$ allerdings nicht.

Beweis: $T\mathbb{R},f^{\ast }T\mathbb{R}$ sind triviale Tangentenbündel. Es it demnach möglich $\Gamma (T\mathbb{R}),\Gamma (f^{\ast }T\mathbb{R})$ mit $C^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{R})$ zu identifizieren. Unter diesen Identifikationen erhalten wir $tf:C^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{R})\to C^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{R}),x\mapsto df\circ \xi =2x\cdot \xi$ und $wf:C^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{R})\to C^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{R}),\eta (x)\mapsto \eta (x^2)=\eta \circ f$ Dann kann man ein paar Integraltricks machen und kommt bei der oberen Gleichung heraus. Zu zeigen, dass $x^k$ ncht infinitesimal stabil ist, ist einfacher. Führe die gleiche Identifikation durch. Zeige, dass jede Funktion aus der rechten Seite der Definition bei $0$ Ableitung $0$ hat. Das zeigt, dass $id$ nicht enthalten ist. Also gilt obere Gleichung nicht.

Submersion

Ist $f\in C^{\infty }(N,P)$ eine Submersion (Mannigfaltigkeit), so ist $f$ infinitesimal stabil.

Beweis: Sei $\mathcal{H}:=(\text{Ker}df{)}^{\perp }$ ein Teilbündel von $TN$ (Die Koordinaten sind beispielsweise durch den Satz der Umkehrfunktion gegeben). $df{|}_{{\mathcal{H}}_x}:{\mathcal{H}}_x\to T_{f(x)}P$ ist eine Isometrie für alle $x\in N$. Für alle Vektorfelder $\tau \in \Gamma (f^{\ast }TP)$ definiere nun ein korrespondierendes $\tilde{\tau }:=(df{|}_{\mathcal{H}}{)}^{-1}\circ \tau ,x\mapsto \tau (x)\mapsto \tilde{\tau }(x)$. Es gilt also $\tau =tf(\tilde{\tau })$. Vermutlich wählt man jetzt als nächstes für den anderen Summanden ein triviales Vektorfeld und erhält dadurch das gewünschte Ergebnis.

Todo Übung: Arbeite den Beweis oben aus.

Todo Übung: Zeige dass $f(x,y):=(x,y^2)$ infinitesimal stabil ist.

Example

$c:\mathbb{R}\to \mathbb{R},c(x):=\cos x,J:=(-\pi ,2\pi )$. Dann ist $c$ nicht infinitesimal stabil aber $c{|}_J$ schon.

Todo Übung: Zeige die Aussagen des oberen Beispiels. Tipp: $id\notin tc(\Gamma (T\mathbb{R}))+\omega (\Gamma (T\mathbb{R}))$