Degree (field extension)

Description

Gibt an, wie groß die Erweiterung ist.

Definition

Ist $L|K$ eine Field extension, dann definieren die beiden Abbildungen $+:L\times L\to L,(\alpha ,\beta )\mapsto \alpha +\beta$ und $\cdot :K\times L\to L,(a,\alpha )\mapsto a\alpha$ eine $K$-Vektorraumstruktur auf $L$

Beispiel: $\mathbb{C}$ kann als zweidimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum betrachtet werden. Dabei bezeichnet man $[L:K]=di{m}_{K}L$ als den Grad der Körpererweiterung, auch $[L:K]=\infty$ ist als Wert zugelassen. Ist $[L:K]$ endlich, dann nennt man $L|K$ eine Endliche Körpererweiterung[^1]

Properties

Gradformel

Seien $L|K$ und $M|L$ endliche Körpererweiterungen. Dann ist auch die Körpererweiterung $M|K$ endlich und es gilt $[M:K]=[M:L]\cdot [L:K]$

Condition for degree 1

Es gilt $[L:K]=1$ genau dann, wenn $L=K$.[^2]

Beweis: Ist $[L:K]=1$, dann ist $L$ ein 1-dimensionaler $K$-Vektorraum, hat also die gleiche Struktur wie einfach nur $K$