Lyapunov-Funktion

Description

Die Lypunovfunktion ist so etwas wie eine schwächere Version einer Conservation law. Sie wird genutzt um die Stabilität eines Equilibriums zu zeigen. Bei einer Lypunovfunktion kann der Wert der Funktion entlang einer Trajektorie auch kleiner werden. Man kann es sich wieder als Energie vorstellen: Die Energie in einem System ist abhängig vom Startzustand, nimmt aber im Laufe der Zeit ab.

Definition

Sei $x^{\prime }=v(x)$ eine Autonome Lipschitzst. DGL. Eine stetig differenzierbare Funktion $V:D\to \mathbb{R}$ heißt Lyapunov-Funktion, wenn $⟨\nabla E(x),v(x)⟩\le 0$ für alle $x\in D$ erfüllt ist.

Properties

Monotonie

Eine Lyapunov-Funktion $V$ ist entlang einer Trajektorie monoton fallend: $\begin{array}{rcl}V\circ \phi & \to & \mathbb{R}\\ t& \mapsto & V(\phi (t))\end{array}$ fällt monoton

Describing Stability

The following only holds for an Autonomous ODE which is Lipschitz-continuous.

Stability of points

Sei $V:D\to \mathbb{R}$ eine Lyapunov-Funktion zu $(1)$ und $\xi \in D$ eine Kritischer Punkt (Differentialgleichung), sodass:

1. $V(\xi )=0$
2. $V(x)>0$ für alle $x\in D\backslash \{\xi \}$ Dann ist $\xi$ eine stabile Kritischer Punkt (Differentialgleichung).

Diesen Fall stellt man sich am besten als Verallgemeinerung des unteren Falls vor. Wir lockern die letzte Bedingung, da es stabile nicht-asymptotische Systeme gibt, bei denen nichts passiert $x^{\prime }(t)=0$. Durch Fallenlassen der dritten Bedingung, können wir den Fall einschließen.

This makes sense, since it means that all flows go toward the critical point (barring flows where simply nothing happens).

Asymptotische Stabilität

Seien $\xi \in D$ eine Kritischer Punkt (Differentialgleichung), $V:D\to \mathbb{R}$ eine Lyapunov-Funktion zu $(1)$ mit:

1. $V(\xi )=0$
2. $V(x)>0$ für alle $x\in D\backslash \{\xi \}$
3. $gradV(x)\circ v(x)<0$ für alle $x\in D\backslash \{\xi \}$ Dann ist $\xi$ eine asymptotisch stabile Kritischer Punkt (Differentialgleichung).

Das Verständnis ist hier viel leichter. Die letzte Bedingung besagt, dass die Lypunov-Funktion entlang einer Trajektorie streng monoton fällt Wenn eine solche Lyapunovfunktion existiert, können Trajektorien keine geschlossenen Kurven geben, da die Lypunovfuntion dazu fallen und fallen müsste, bis sie mit einem anderen Wert wieder am Startpunkt ankommt. Weil 0 der niedrigste Punkt der Funktion ist, können Funktionswerte der Lypunovfunktion in einer kleinen Umgebung mit wachsender Entfernung nur größer werden. Da die Lypunovfunktion entlang der Trajektorien aber kleiner wird, müssen sich die Trajektorien in dieser Umgebung auch in Richtung null bewegen. (Sonst würde die Lyapunovfunktion entlang der Trajektorien größer werden uder gleich bleiben.)

Theorem Instabilität

Seien $\xi \in D$ eine Kritischer Punkt (Differentialgleichung), $V:D\to \mathbb{R}$ eine Lyapunov-Funktion zu $(1)$ mit:

1. $V(\xi )=0$
2. $gradV(x)\circ v(x)<0$ für alle $x\in D\backslash \{\xi \}$
3. In jeder Umgebung $W$ von $\xi$ gibt es ein $x_W\in W$ mit $V(x_W)<0$

Dieser Satz ist vermutlich am leichtesten zu verstehen.. Ein Punkt ist instabil, wenn sich die Lösung bei einer kleinen Veränderung des Startwert stark verändert. Die zweite Bedingung besagt, dass die Lypunov-Funktion entlang einer Trajektorie streng monoton fällt Auch hier kann es deshalb keine geschlossenen Kurven geben. Eine Lösung die jetzt bei $x_W$ anfängt kann sich im Kreis drehen. Also muss sie sich in “Spirallinien” (Also einer Linie, sodass sie sich nicht selbst schneidet) entweder zum Kreis hin oder weg bewegen. Hin geht nicht, da sonst die Lypunovfunktion aufgrund ihrer Stetigkeit irgendwann größer werden würde. Deshalb bewegt sich die Trajektorie von $\xi$ weg.

I guess, just because the Lyapunov function is smaller everywhere else, it doesn’t need do be unstable. for $x^{\prime }=0$ all points are stable, so a Lyapunov function which has one extremum would still make sense.

Examples

Lyapunov Function for scalar ODEs

Let $x^{\prime }=f(x)$ be an aoutonomous scalar ODE. Then a Lyapnuov-function is given by the Stannfunktion $F(x)$, since $⟨\nabla F(x),f(x)⟩=-F^{\prime }(x)\cdot f(x)\le 0$