Linearer Spline

Beschreibung

Ein linearer Spline ist ein Spline von Ordnung $1$. Wir werden Punkte durch Geradensegmente miteinander verbunden.

Definition

Sei $\Delta :=(x_0,...,x_N)\in {\mathbb{R}}^{N+1}$ Knotenvektoren für $[a,b],N\in \mathbb{N}$. Zu $(y_0,..,y_N)\in {\mathbb{R}}^{N+1}$ gibt es genau einen linearen Spline $s\in S_{\Delta ,1}$ sodass $s(x_k)=y_k$ und zwar definiert durch $\forall x\in [x_{,}{x}_{k+1}]:s(x)=y_k+\frac{y_{k+1}-y_k}{x_{k+1}-x_k}(x-x_k)$

Eigenschaften

Fehlerabschätzungen

Fehlerabschätzungen für $f\in C^2[a,b]$ mit $f(x_k)$: $\Vert f-s{\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{8}\Vert f^{\prime \prime }{\Vert }_{\infty }{h}^2$

mit der sogenannten Feinheit der Zerlegung $h:=h(\Delta ):=\max \text{ges}{x}_{k+1}-x_k:k=0,...,N-1$