Abstract
The magnitude homology of a metric space and the path homology of a directed graph have each been the subject of a prolific literature over the past decade or so. The two theories have quite different origin stories; nonetheless, it was established by Asao in 2022 that in fact they are closely related [1]. To any directed graph one can associate a spectral sequence whose E1 page is exactly its magnitude homology, while its path homology can be identified with an axis of page E2. This talk will discuss ongoing work to draw out the consequences of Asao’s observation. I will describe the target object of the magnitude-path spectral sequence---the reachability homology of a directed graph---and in doing so connect all three homology theories to the classical homotopy theory of small categories. If time permits, I will also examine the bigraded variant of path homology that comes from considering the entire E2 term. This turns out to be a strictly finer invariant than ordinary path homology, while sharing its good properties of homotopy invariance, a Künneth formula, and a Mayer—Vietoris sequence. This is work in progress, joint with Richard Hepworth (University of Aberdeen). Reference: [1] Y. Asao. Magnitude homology and path homology. Bulletin of the LMS, 55(1):357–398, 2023
Einführung
Wir betrachten verschiedene Klassen von Homologie. Dazu vergleichen wir die Homologien auf den Zyklischen Graphen. .
- Magnitudenhomologie (Graphtheorie): Erkennt Länge von Zykeln
- Pfad Homologie: für und für (wie ein Punkt) für und für (wie ein Kreis)
- Erreichbarkeitshomologie: für und für (wie ein Punkt)
Die drei Theorien haben verschiedene Abstufungen von Erkennschärfe. Tatsächlich gibt es beliebig feine Abstufungen gegeben durch ein Kontinuum von Hoologietheorien.
Reachability Homologie
Die Erreichbarkeitsquasiordnung von wurde definiert. Längen in Graphen werden durch die Pfadmetrik angegeben (nicht notwendigerweise symmetrisch!).
Reachability Komplex von : Ein Kettenkomplex mit Differential wird wie in Erreichbarkeitshomologie definiert. Die Homologie wird durch angegeben.
Roff machte die Beobachtung, dass der Normalisierte Kettenkomplex im Nerv (Kategorientheorie) von ist. Sie ging auf die Definition des Nerv ein.
Nerv
Die Quasiordnung ist bereits eine kleine Kategorie. Dadurch lässt sich der Nerve definieren. Der Nerv ist der durch die Morphismen induzierte Simplizialkomplex. Sei die Erreichbarkeitsquasiordnung. Betrachte die beiden Funktionen
Funktorialität des Nerv
Es gibt einen Funktor, durch den jede Präordnungserhaltende Funktion eine Simpliziale Abbildung induziert. Gilt für sogar , so gibt es eine simpliziale Homotopie zwischen den Abbildungen und .
Die letzte Eigenschaft lässt sich folgendermaßen erweitern:
Lange Homotopie
Seien Abbildungen von Graphen. Es gibt eine lange Homotopie wenn für alle ein Pfad zu in existiert.
Bedingung für Gleichheit
Wenn , dann gilt . Als Korollar folgt daraus: für alle .
Reachability Homology ist nicht wirklich nützlich, da alle Unterscheidungen bei gut zusammenhängenden Graphen gekillt werden. Das muss aber nicht notwendigerweise sein. Wir können eine Filterung einbauen, um ein Kontinuum von Homologien zu bekommen.
Magnitude Path Spectral Sequence (MPSS)
Es wurde erklärt, was eine Spektralsequenz ist.
Die Spektralsequenz mit den Modulen wurde definiert.
Wir betrachten nun unser Hauptbeispiel. Sei eine graduierte Filtration von Kettenkomplexen (Filtrationen sind einfach Teilkomplexe, die konsekutiv inkludieren). Dies induziert die -te Seite einer Spektralsequenz durch , die natürlich bi-gradiiert ist: .
Wir konstruierten nun die nullte Seite der Magnitude-Pfad-Spektralsequenz aus der Filtration
Bedeutungen der Seiten
Die nullte Seite hat auch die alternative Formel . Die Magnitude Homologie ist dann die erste Seite . Thm (Asao): .