Zusammenhang Matrix-Möbiustransformation

Beschreibung

Beim Rechnen fält uns auf, dass die Multiplikation von Matrizen und die Verknüpfung von Möbiustransformationen viele Parallelen haben. Desweiteren sieht die Inverse (Matrix) aus wie die Umkehrabbildung.

Das bringt uns auf die Idee, zu jeder Möbiustransformation eine äquivalente Matrix zu finden: $M(z)=\frac{az-b}{cz-d}⟷[M]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ Leider ergibt sich dadurch ein Problem: Ist $k$ eine komplexe Zahl, dann entspricht die Matrix $k[M]$ der gleichen Möbiustransformation wie $[M]$. Beschränkt man die Möbiustransformationen aber auf normalisierte, dann gibt es zu jeder Möbiustransformation $M(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ nur die Matrizen $[M]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ und $-[M]=\left[\begin{array}{cc}-a& -b\\ -c& -d\end{array}\right]$

Erklärung

Aber woher kommt dieser überraschende Zusammenhang?

Beschreibe einen Urbildpunkt und seinen Bildunkt in homogenen Koordinaten $z=\frac{{\mathfrak{z}}_1}{{\mathfrak{z}}_2}$, $w=\frac{{\mathfrak{w}}_1}{{\mathfrak{w}}_2}$. Multipliziere des Urbildpunkt mit der Matrix: $\left[\begin{array}{c}{\mathfrak{z}}_1\\ {\mathfrak{z}}_2\end{array}\right]\mapsto \left[\begin{array}{c}{\mathfrak{w}}_1\\ {\mathfrak{w}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathfrak{z}}_1\\ {\mathfrak{z}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a{\mathfrak{z}}_1+b{\mathfrak{z}}_2\\ c{\mathfrak{z}}_1+d{\mathfrak{z}}_2\end{array}\right]$ Bezieht man diese Abbildung auf das Verhältnis $z=\frac{{\mathfrak{z}}_1}{{\mathfrak{z}}_2}$ zurück, erhält man: $z=\frac{{\mathfrak{z}}_1}{{\mathfrak{z}}_2}\mapsto w=\frac{{\mathfrak{w}}_1}{{\mathfrak{w}}_2}=\frac{a{\mathfrak{z}}_1+b{\mathfrak{z}}_2}{c{\mathfrak{z}}_1+d{\mathfrak{z}}_2}=\frac{a({\mathfrak{z}}_1/{\mathfrak{z}}_2)+b}{c({\mathfrak{z}}_1/{\mathfrak{z}}_2)+d}=\frac{az+b}{cz+d}$ Die Möbiustransformation ist also genau das Anwenden der äquivalenten Matrix auf den Punkt in homogenen Koordinaten.

Eigenvektoren-Fixpunkte

Ein Eigenvektor erfüllt die Gleichung $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathfrak{z}}_1\\ {\mathfrak{z}}_2\end{array}\right]=\lambda \left[\begin{array}{c}{\mathfrak{z}}_1\\ {\mathfrak{z}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda {\mathfrak{z}}_1\\ \lambda {\mathfrak{z}}_2\end{array}\right]$ D.h. $M(z)=M(\frac{{\mathfrak{z}}_1}{{\mathfrak{z}}_2})=\frac{\lambda {\mathfrak{z}}_1}{\lambda {\mathfrak{z}}_2}=z$ Eigenvektoren der Matrix sind also Fixpunkte der Möbiustransformation

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