Maximumsprinzip

Definition

Komplexe Zahlen

Seien

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ ein Gebiet $U$ ist der Definitionsbereich von $f$
• $f:U\to \mathbb{C}$ eine Analytische Funktion

Hat $|f|$ in $a\in U$ ein lokales Maximum, dann ist $f$ konstant auf $U$¹

Riemannsche Fläche

Seien

• $X,Y$ Riemannsche Fläche $U$ ist der Definitionsbereich von $f$
• $f:U\to \mathbb{C}$ eine Analytische Funktion

Hat $|f|$ in $a\in U$ ein lokales Maximum, dann ist $f$ konstant auf $U$¹

Beweis

Man stelle sich ein Gebiet $U$ vor. Dieses Gebiet wird durch die analytische Funktion auf ein neues verzerrtes Gebiet $f(U)$ abgebildet. Misst man jetzt den Abstand von jedem Punkt des neuen Gebiets zum Ursprung ist es offensichtlich, dass ein Randpunkt am weitesten entfernt ist.

Footnotes

1. Zenk - Satz 22.5.5 ↩ ↩²