Beschreibung
Ein Potenzial ist ein Konzept, das sich der physikalischen Potenzial bedient, um über Differentialsysteme argumentieren zu können. Es handelt sich hierbei um eine Funktion, die entlang Trajektorien ihren maximalen Abstieg hat.
Es ist somit ein Spezialfall einer Lyapunov-Funktion.
Definition
Wir wünschen eine Funktion, die jedem ein Potenzial zuordnet. Ihr maximaler Abstieg soll in Richtung der Trajektorien verlaufen und deren Steigung gleich der Geschwindigkeit der Trajektorie ist. Für Differentialgleichungen der Form können wir die Potenzialfunktion als definieren.
Eigenschaften
Auf wohldefiniert
Die Potenzialfunktion ist auf eindimensionalen DGLs erster Ordnung wohldefiniert. Da ihr Wert immer fällt, kann ein eindimensionales DGLs nicht periodisch sein.
Nicht immer wohldefiniert
Die Potenzialfunktion ist nicht notwendigerweise wohldefiniert. Bei einem DGL, dessen Vektorfeld im Kreis dreht, müsste die Potenzialfunktion immer weiter sinken.
Lokales Minimum in stabilen Punkten
In Stabiler Punkt hat die Potenzialfunktion ein lokales Minimum.