Trennen der Variablen

Definition

Seien

• $I,U\subseteq \mathbb{R}$ $I$ ist der Definitionsbereich der von $t$ abhängigen Funktion $g$ $U$ ist der Definitionsbereich der von $x$ abhängigen Funktion $f$
• $t_0\in I$, $x_0\in I$ der Startzustand
• $f\in C(I,\mathbb{R})$ ein Diffeomorphismus
• $g\in C(U,\mathbb{R})$ ein Diffeomorphismus

Hat eine Explizite Differentialgleichung die Form:

x' = \frac{f(x)}{g(t)} \tag{1} und das Startwertproblem $x(t_0)=x_0$ Dann hat die Differentialgleichung

1. im Fall $h(x_0)=0$ mindestens eine Lösung, nämlich $\lambda :\begin{array}{rcl}:I& \to & \mathbb{R}\\ t& \mapsto & x_0\end{array}$
2. im Fall $h(x_0)\ne 0$ lokal eine eindeutige Lösung: D.h. Es gibt ein offenes Intervall $I^{\prime }\subseteq I$ mit $t_0\in I^{\prime }$, sodass $(1)$ genau eine Lösung besitzt. $\lambda$ bestimmt sich aus $\underset{x_0}{\overset{\lambda }{\int }}\frac{1}{g(\tau )}d\tau =\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{f(\xi )}d\xi$ Hier erkennt man das die Lösung für $f(t),g(t)=0$ nicht definiert ist. Daher darf das Intervall $I^{\prime }$ keine Nullstellen enthalten. [^1]

Der Grund, warum der zweite Fall nicht eindeutig ist, ist dass im Fall $x^{\prime }=0$ Lösungskurven sich aufteilen können. (Das ist sehr komisch aber im Beispiel genauer erläutert.) Aus dem gleichen Grund, ist im ersten Fall die Lösung nur auf einer Umgebung eindeutig, in der $x^{\prime }(t)\ne 0$ für $t\in I^{\prime }$ .¹

Obacht: DIe Lösung, die man oben herausbekommt, ist nur auf dem Intervall $I^{\prime }$ definiert. Da wir durch Trennen der Variablen nicht erfahren, was das Intervall $I^{\prime }$ ist, müssen wir die Lösung nochmal überprüfen.

Sind $f$ und $g$ glatte Funktionen, dann ist im ersten Fall $h(x_0)=0$ die Lösung sogar eindeutig. (Siehe Das Satz von Picard-Lindelöf)

Herleitung für glatte Funktionen

Seien

• $I,U\subseteq \mathbb{R}$ $I$ ist der Definitionsbereich der von $x$ abhängigen Funktion $g$ $U$ ist der Definitionsbereich der von $y$ abhängigen Funktion $f$
• $t_0\in I$, $x_0\in I$ der Startzustand
• $f:I\to \mathbb{R}$ ist glatt
• $f:U\to \mathbb{R}$ ist glatt

DIe Phasenkurven der Lösung der Explizite Differentialgleichung $x^{\prime }=\frac{f(x)}{g(t)}$ sind genau die Integralkurven von x'(t) = g(x(t)), x'(t) = f(y(t))\tag{2}[^1]

Durch Lösung von $(2)$ ergibt sich eine Schreibweise, die Gleichung unabhängig von $t$ zu beschreiben. Diese Schreibweise ist genau $(1)$¹

Beispiele

Die Autonome Differentialgleichung $x^{\prime }=x^{2/3}$ hat zum Startwertproblem $x(0)=0$ auf jedem Intervall $I^{\prime }\subseteq I$ mit $t_0\in I^{\prime }$ die beiden maximalen Lösungen ${\lambda }_1(t)=0$ und ${\lambda }_2(t)=(t/3{)}^3$. Das liegt daran, dass $x^{2/3}$ bei $0$ eine unendlich große Steigung hat.

y lit_arnoldOrdinaryDifferentialEquations1992 : Arnold - Kapitel 1 §6 Satz

Footnotes

1. Zenk - Satz 17.2.2 ↩ ↩²