Ordnung (Analysis)

Definition

Sei $a\in U$ oder $a$ eine isolierte Singularität von $f$. $f(z)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{c}_k(z-a{)}^k$ die Laurentreihenentwicklung von der analytischen Funktion $f$ um $a$

Dann heißt $\omega (f,a):=\{\begin{array}{ll}-\infty & \text{falls }a\text{ wesentliche Singularita¨t}\\ n& \text{falls }{c}_n\ne 0\text{ und }{c}_k=0\text{ fu¨r }k\in \mathbb{Z},k<n\\ \infty & \text{falls }f\text{ die Nullfunktion in einer Umgebung von }a\text{ ist}\end{array}$ die Ordnung von $f$ in $a$.[^1]

Die Ordnung ist sowas wie der Grad aber von unten. Es ist die kleinste Potenz in einem gebrochen-rationalen Polynom

Eigenschaften

• Ist $\omega (f,a)>0$, dann hat $f$ in $a$ eine $n$-fache Nullstelle
• Ist $\omega (f,a)\ge 0$, dann ist $f$ in $a$ holomorph (fortsetzbar) und $Res(f,a)=0$
• Ist $\omega (f,a)=0$, dann ist $f$ in $a$ holomorph (fortsetzbar) und $f(a)\ne 0$
• Ist $\omega (f,a)<0$, dann hat $f$ in $a$ einen Pol $n$-ter Ordnung