Linearisation

Beschreibung

Bei einer Linearisation wird eine Nicht-Lineare Differentialgleichung um kritische Punkte durch eine Lineare Differentialgleichung approximiert.

Definition

Stabilitätsanalyse

Sei $x^{\ast }\in \mathbb{R}$ ein kritischer Punkt einer Differentialgleichung $\dot{x}=f(x)$ und sei $\eta (t)=x(t)-x^{\ast }$ eine kleine Störung von $x^{\ast }$. Wir wollen die Stabilität von $x^{\ast }$ ermitteln, d.h. wir wollen wissen, ob der Fehler sich im Laufe der Zeit vergrößert. Dazu differenzieren wir den Fehler und erhalten die Gleichung $\dot{\eta }=\dot{x}$. Durch eine Taylorentwicklung erhalten wir $f(x^{\ast }+\eta )=f(x^{\ast })+\eta f^{\prime }(x^{\ast })+O({\eta }^2)$ wobei $O(\eta )$ ein Fehlerterm ist, der quadratisch von $\eta$ abhängt und damit für sehr kleine Werte vernachlässigbar ist. Wir erhalten demnach: $\dot{\eta }\approx \eta f^{\prime }(x^{\ast })$

Das bedeutet, dass für $f^{\prime }(x^{\ast })>0$ eine Lösung, die nach an $x^{\ast }$ beginnt, sich exponentiell entfernt. Ist $f^{\prime }(x^{\ast })<0$, so nähert sich die Lösung $x^{\ast }$ an. Ist $f(x^{\ast })=0$, so lässt sich durch Linearisierung keine Aussage über die Stabilität treffen.

Eigenschaften

lit_strogatzNonlinearDynamicsChaos2018