Fundamentallösung

Beschreibung

Die Fundamentallösung ist die Lösung einer Lineare Homogene MatrixDGL.

Definition

Betrachte die Lineare Homogene MatrixDGL $Y^{\prime }(t)=A(t)Y(t)$ zum Startwertproblem $Y(\tau )=E_d$, dann ist die Fundamentallösung eindeutig und durch die Dysonreihe gegeben:

$Y(t)=E_d+{\sum }_{n=1}^{\infty }\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}A(t_1)\underset{\tau }{\overset{t_1}{\int }}A(t_2)...\underset{\tau }{\overset{t_{n-1}}{\int }}A(t_n)d{t}_n...d{t}_{2}d{t}_1$

Spezialfälle

A(t) ist konstant

Dann ist die Fundamentallösung: $Y(t)=e^{t-\tau }A$

A(t) ist kommutativ

Gilt $A(s)A(t)=A(t)A(s)$, dann ist die Fundamentallösung:

$Y=e^{\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}A(s)ds}$¹

Footnotes

1. Zenk - Lemma 19.4.6 ↩