Erhaltungsgröße

Beschreibung

Eine Erhaltungsgröße ist eine Funktion, die entlang jeder Trajektorie einer Autonome Lipschitzst. DGL den gleichen Wert annimmt.

Man kann es sich als die Energieerhaltung vorstellen: Die Energie in einem System ist nur abhängig vom Startzustand.

Erhaltungsgrößen werden auch erstes Integral genannt.

Definition

Sei x'=v(x)\tag{1} eine Autonome Lipschitzst. DGL.

$E\in C^1(D,\mathbb{K})$ ist eine Erhaltungsgröße wenn $(gradE)(x)\circ v(x)=0$ D.h. Wenn die Richtung der größten Steigung von $E$ senkrecht zur Phasengeschwindigkeit von $(1)$ verläuft. Bzw. Wenn die Richtung, in der sich $E$ nicht ändert gleich der Richtung der Phasengeschwindigkeit von $(1)$ ist Es sei denn $E$ ist an der Stelle 0

Eigenschaften

Eine Erhaltungsgröße zu einer Autonome Lipschitzst. DGL ist längst jeder Trajektorie konstant: $E(\phi (t,\xi ))=E(\xi )$ für alle $t\in J_{\xi }$ wobei $J_{\xi }$ das Existenzintervall von $\phi (\cdot ,\xi )$ zu $(1)$