Stammfunktion

Beschreibung

Eine Stammfunktion ist ein Mittel zur Lösung von Exakten Differentialgleichungen. Der Gradient der Stammfunktion im Punkt $(t,x)$ steht senkrecht zur Tangente der Lösung im Punkt $(t,x)$. Daher ist die Stammfunktion entlang jeder Lösung konstant.

Interpretiert man $t$ nicht als Zeit, sondern als Komponente des Zustands und wandelt die Exakte Differentialgleichung in eine Autonome Differentialgleichung, erhält man eine Erhaltungsgröße, wenn nicht sogar (Hamiltonfunktion)

Definition

Seien

• $U\subseteq {\mathbb{R}}^2$ ein Gebiet
• $f:U\to \mathbb{R}$ stetig
• $g:U\to \mathbb{R}$ stetig

Sei $f(t,x)+g(t,x)x^{\prime }=0$ eine Exakte Differentialgleichung

Die stetig differenzierbare Funktion $F:U\to \mathbb{R}$ mit der Eigenschaft (grad F)(t, x)= \begin{pmatrix}f(t, x) \\ g(t, x) \end{pmatrix} \text{ für alle }(t, x)\in U \tag{1} ist die Stammfunktion für $(1)$¹

Footnotes

1. Zenk Definition 17.3 ↩