Algorithmus zur Berechnung der Umlaufzahl einfach durchlaufener Schleifen

Beschreibung

Um die Umlaufzahl einer einfach durchlaufenen Komplexe Stückweise Differenzierbare Schleife zu berechenen, kann man Kreise an ihrer Spur (Kurve) konstruieren und durch Vergleichen der Drehrichtung die Umlaufzahl der zusammenhängenden Mengen berechnen.

Algorithmus

Algorithmus nach Zenk

Sei $\gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb{C}$ eine einfach durchlaufene, Komplexe Stückweise Differenzierbare Schleife

Nutze für den Algorithmus den positiv orientierten Kreisweg $\eta :\begin{array}{rcl}[0,2\pi ]& \to & \mathbb{C}\\ t& \mapsto & w+reit\end{array}$ mit dem Radius $r>0$ und dem Mittelpunkt $w\in \mathbb{C}$

Setze den Radius und den Mittelpunkt des Kreises so, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Der Kreis schneidet die Spur (Kurve) von $\gamma$ an zwei verschiedenen Punkten $a$ und $b$ Es gibt $t_1,t_2\in [\alpha ,\beta ],t_1<t_2$, sodass $a:=\gamma (t_1)\in Spur(\eta ),b:=\gamma (t_2)\in Spur(\eta )$ und $a\ne b$ erfüllt ist.
2. Der Teilweg von $\gamma$, der zwischen $a$ und $b$ liegt befindet sich in der Kreisscheibe, die von $\eta$ gezeichnet wird. Für $t\in ]t_1,t_2[$ gilt $\lambda (t)\in \in K(w,r)$
3. Der Teilweg von $\gamma$, der nicht zwischen $a$ und $b$ liegt befindet sich nicht in der Kreisscheibe, die von $\eta$ gezeichnet wird. Für $t\in [\alpha ,\beta ]\backslash [t_1,t_2]$ gilt $\lambda (t)\in \in \mathbb{C}\backslash \overline{K(w,r)}$
4. Teile die Kreisscheibe mit $\gamma$ in zwei Zusammenhangskompenten Ist $\tilde{\gamma }:\begin{array}{rcl}[t_1,t_2]& \to & \mathbb{C}\\ t& \mapsto & \gamma (t)\end{array}$, so hat $\overline{K(w,r)}\backslash Spur(\tilde{\gamma })$ genau zwei Zusammenhangskomponenten.

Die restliche Formalisierung steht im Skript, so geht es informell weiter: Ist die Orientierung von $\gamma$ und $\eta$ gleich, dann erhöht sich die Umlaufszahl um 1, ist sie gegensätzlich, dann verringert sich die Umlaufzahl um 1 [^1]

]: Zenk - Lemma 22.2.11