Implizite Differentialgleichung

Beschreibung

Eine Gewöhnliche Differentialgleichung heißt n-dimensionale implizite Differentialgleichung k-ter Ordnung, wenn die rechten Seiten der Gleichung null sind.

Offensichtlich lässt sich jede Explizite Differentialgleichung in eine Implizite Differentialgleichung umwandeln. Eine Gleichung, die explizit dargestellt werden kann ist somit in gewisser Weise ein Spezialfall der impliziten Gleichungen.

Definition

Seien

• $k,n\in N$ $k$ ist die höchste Ableitung der Gleichung $n$ ist die Dimension von der Lösung
• $U\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{K}(k+1)n$ ein Gebiet $U$ ist der Defintionsbereich der Gleichung $F$
• $F:U\to {\mathbb{K}}^n$

Eine Gleichung F(t, x, x', ..., x^{(k)})\tag{1} bzw. $\begin{array}{cc}& F_1(t,x,x^{\prime },...,x^{(k)})=0\\ & F_2(t,x,x^{\prime },...,x^{(k)})=0\\ & ⋮\\ & F_n(t,x,x^{\prime },...,x^{(k)})=0\end{array}$

heißt n-dimensionale implizite Differentialgleichung k-ter Ordnung.

Lösung

Siehe Lösung