Residuum

Definition

Seien

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ offen
• $f:U\to \mathbb{C}$ analytisch

Sei $a$ eine Isolierte Singularität. Der erste Koeffizient $c_{-1}$ des Hauptteils von $f$ in a heißt das Residuum von $f$ im Punkt $a$ (Notiert: $Res(f,a)$).

Eigenschaften

Eigenschaft 1

Ist $a\in U$ ein Pol 1. Ordnung von $f:U\backslash \{a\}\to \mathbb{C}$, dann ist $Res(f,a)=\underset{z\in U\backslash \{a\}}{\underset{z\to a}{\lim }}(z-a)f(z)$¹

Eigenschaft 2

Ist $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ offen, $a\in U$ ein Pol m-ter Ordnung von $f:U\backslash \{a\}\to \mathbb{C}$ und $G:U\to \mathbb{C}$ die analytische Fortsetzung von $f:\begin{array}{rcl}U\backslash \{a\}& \to & \mathbb{C}\\ z& \mapsto & (z-a{)}^{m}f(z)\end{array}$, dann gilt: $Res(f,a)=\frac{1}{(m-1)!}{G}^{(m-1)}(a)$

Footnotes

1. Zenk - Lemma 23.1.16 ↩