Innere einer Schleife

Beschreibung

Liegt ein Punkt dem von der Komplexe Stückweise Differenzierbare Schleife eingegrenzten Gebiet und verlässt dieses selbst dann nicht, wenn man die Schleife stetig deformiert so liegt der Punkt im Inneren der Schleife

Das Innere ist das Gegenstück zum Äußeren

Definition

Sei $\gamma$ eine Komplexe Stückweise Differenzierbare Schleife Die Menge aller Punkte, an denen die Umlaufzahl bzgl. $\gamma$ nicht 0 ist, nennt man das Innere von $\gamma$. $\{z\in \mathbb{C}\backslash Spur(\gamma ):n(\gamma ,z)\ne 0\}$¹

Eigenschaften

Kompaktheit

Das Innere von $\gamma$ ist relativ kompakt in $\mathbb{C}$.²

Ist $U\in \mathbb{C}$ zusätzlich einfach zusammenhängend, dann ist der Abschluss des Inneren eine kompakte Teilmenge von $U$³

Footnotes

1. Zenk - Definition 22.2.8 ↩

2. Zenk - Korollar 22.2.6 ↩

3. Zenk - Lemma 22.2.10 ↩