Attraktive Lösung

Beschreibung

Eine Lösung einer Differentialgleichung ist attraktiv wenn die Lösungen von kleine Änderungen des Startwert trotzdem gegen den gleichen Wert konvergieren.

Definition

Sei $\mu :]a,\infty [\to {\mathbb{K}}^d$ eine Lösung der DGL $x^{\prime }=f(t,x)$

$\mu$ ist attraktiv, wenn es für alle $\tau >a\in \mathbb{R}$ ein $\nu (\epsilon ,\tau )>0$ gibt, mit: Zu jedem Anfangswert $(\tau ,\xi )$ mit $||\xi -\mu (t)||<\delta$ existiert die maximale Lösung ${\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)$ und erfüllt das Startwertproblem: $x^{\prime }=f(t,x),x(\tau )=\xi$ für alle $t\ge \tau$ und es gilt $\underset{t\to \infty }{\lim }||{\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)-\mu (t)||=0$

Weitere Konzepte

Einzugsbereich

Die Menge, aller Startwerte, deren Lösungen gegen den gleichen Wert wie $\mu$ konvergieren nennt man den Einzugsbereich von $\mu$.

$\{(\tau ,\xi )\in V:||{\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)-\mu (t)||=0\}$