Isolierte Singularität

Beschreibung

Ein Punkt ist eine Isolierte Singularität, wenn Teil einer punktförmigen Definitionslücke von $f$ ist.

Definition

Seien

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ offen
• $f:U\to \mathbb{C}$ analytisch

$a\in \mathbb{C}\backslash U$ heißt isolierte Singularität von $f$, wenn es ein $r>0$ mit $\dot{K}(a,r):=\{z\in \mathbb{C}:0>|z-a|<r\}\subseteq U$ gibt. Auf $\dot{K}(a,r)$ sei dann $f(z)=u(z)+v(z)$ Die Zerlegung der Laurentreihenentwicklung von $f$ in $a$ in Haupt- und Nebenteil.

Wir nennen dann $u(z)$ den Hauptteil von $f$ in a und $v(z)$ den Nebenteil von $f$ in $a$.

Hebbare Singularität

Ist der Hauptteil $u(z)=0$, so heißt a eine Hebbare Singularität Denn dann bleibt ja nur noch der Nebenteil übrig. Setzt man in diesen a ein, bekommt man überall 0 raus.

Pol

Ist $u(z)$ ein Polynom (Komplexe Analysis) in der Variablen $\frac{1}{z-a}$ vom Grad $N\ge 1$, so heißt $a$ ein Pol der Ordnung $N$. Die Bezeichnung kommt offensichtlich davon, dass man $a$ einen Pol n-ten Grades der Funktion $\frac{1}{(z-a{)}^n}$ nennt.

Wesentliche Singularität

Siehe Wesentliche Singularität Ist $u\le 0$ kein Polynom in der Variablen $\frac{1}{z-a}$, also $c_{-k}\ne 0$ für unendlich viele $k\in \mathbb{N}$, so heißt $a$ eine wesentliche Singularität von $f$

Residuum

Siehe Residuum

Ordnung

Siehe Ordnung (Analysis)