Variation der Konstanten

Beschreibung

Variation der Konstanten ist ein Verfahren, mit dem sich lineare inhomogene DGLSs lösen lassen.

Lösung von eindimensionalen DGLs

Eine skalare lineare inhomogene DGL $x^{\prime }=f(t)x+g(t)$ zum Startwertproblem $x(\tau )=\xi$ wird durch ${\lambda }_{(\tau ,\xi )}=e^{\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}f(s)ds}\xi +e^{\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}f(s)ds}\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}{e}^{-\underset{\tau }{\overset{s}{\int }}f(r)dr}f(s)ds$ gelöst

Lösung von mehrdimensionalen DGL

Ein Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung $x^{\prime }=A(t)x+g(t)$ zum Startwertproblem $x(\tau )=\xi$ hat die eindeutige maximale Lösung ${\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)=\Phi (t)\Phi (\tau {)}^{-1}\xi +\Phi (t)\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}\Phi (s{)}^{-1}g(s)ds$ wobei $\Phi (t)$ die Fundamentalmatrix des homogenen Teils von $(1)$ und $\Phi (t{)}^{-1}$ dessen Inverse zum Startzeitpunkt $\tau$ ist.¹

Lösung von mehrdimensionalen DGL mit konstantem A(t)

Ist $A(t)=A\in M_d(\mathbb{R})$ also konstant, dann ist die Fundamentalmatrix $\Phi (t)=e^{tA}$. Außerdem ist $\Phi (t)\Phi (\tau {)}^{-1}=e^{(t-\tau )A}$ die Übergangsmatrix für $x^{\prime }=Ax$

Damit vereinfacht sich die Lösungsformel: ${\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)=e^{(t-\tau )A}\xi +e^{tA}\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}{e}^{-sA}g(s)ds$²

Footnotes

1. Zenk - Satz 19.1.13 ↩

2. Zenk - Satz 19.2.4 ↩