Globale Lipschitzstetigkeit

Beschreibung

Für eine lipschitzstetige Funktion existiert ein Doppelkegel, dessen Ursprung entlang des Graphen bewegt werden kann, sodass dieser stets außerhalb des Doppelkegels bleibt¹

Eine Funktion ist global lipschitzstetig, wenn sie differenzierbar ist und die Ableitung der Funktion einen Maximalen Wert annimmt.

Globale Lipschitzstetigkeit ist stärker als Gleichmäßige Stetigkeit. Insbseondere ist jede global lipschitzstetige Funktion lokal lipschitzstetig

Definition

Seien

• $k,m,n\in \mathbb{N}$ $k$ ist die Dimension von der $t$-Komponente $n$ ist die Dimension von der $x$-Komponente $m$ ist die Dimension der Bildmenge von $g$
• $D\subseteq {\mathbb{R}}^k\times {\mathbb{K}}^n$, sodass $t\in {\mathbb{R}}^k$ und $x\in {\mathbb{K}}^n$
• $g:\begin{array}{rcl}D& \to & {\mathbb{K}}^m\\ (t,x)& \mapsto & g(t,x)\end{array}$

$g$ heißt Global Lipschitzstetig auf $D$ bezüglich $x$, wenn es $L>0$ gibt, sodass $||g(t,x)-g(t,y)||\le L||x-y||\text{ fu¨r alle }(t,x),(t,y)\in D$

Ist g unabhängig von t, dann muss man bezüglich $t$ natürlich nicht sagen.

Footnotes

1. Wikipedia - https://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitzstetigkeit ↩