Stereographische Projektion

Beschreibung

Die Stereographische Projektion ist eine Methode die Oberfläche einer Sphäre bijektiv auf eine Fläche zu übertragen.

Definition

Definition (Zenk)

$P:\begin{array}{rcl}\mathbb{S}& \to & \hat{\mathbb{C}}\\ (u_1,u_2,u_3)& \mapsto & \{\begin{array}{ll}z=\frac{u_1+i{u}_2}{1-u_3}& \text{ fu¨r }(u_1,u_2,u_3)\in \mathbb{S}\backslash \{(0,0,1)\}\\ \infty & \text{fu¨r }(u_1,u_2,u_3)=(0,0,1)\end{array}\end{array}$ heißt stereographische Projektion.

Mit der stereographischen Projektion wird die Riemannsche Zahlensphäre definiert.

Definition als Inversion

Betrachtet man die obere Graphik, merkt man, dass sie einen Kreis auf eine Gerade abbildet. Nach einiger Überlegung, woran uns das erinnert, denken wir an die Inversion an einer Kugel.

Genauer gesagt die Kugel um den Nordpol mit dem Radius $\sqrt{2}$. Offensichtlich werden die Zahlen des Einheitskreises auf sich selbst abgebildet. Und da die Urbildkugel durch den Mittelpunkt der Inversionkugel geht ist, muss sie auf genau die Ebene abgebildet werden.

Umkehrabbildung

$P$ hat die Umkehrabbildung $Q$ mit: $Q:\begin{array}{rcl}\hat{\mathbb{C}}& \to & \mathbb{S}\\ (u_1,u_2,u_3)& \mapsto & \{\begin{array}{ll}\left(\frac{2x}{|z{|}^2+1},\frac{2y}{|z{|}^2+1},\frac{|z{|}^2-1}{|z{|}^2+1}\right)& \text{fu¨r }z\in \mathbb{C}\\ (0,0,1)& \text{fu¨r }z=\infty \end{array}\end{array}$

Eigenschaften

Isometrischer Isomorphismus

Die Stereographische Projektion ist ein isometrischer Isomorphismus

Dass die Projektion eine Isometrie ist, ist ziemlich dämlich, da sie auf $\hat{\mathbb{C}}$ abbildet, dessen Metrik genau die Umkehrabbildung der Stereographischen Projektion ist.¹

Konformität

Die stereographische Projektion ist konform. D.h. eine Funktion zwischen zwei komplexen Ebenen ist genau dann analytisch, wenn die Abbildung zwischen den Riemannsche Fläche konform ist.²

Footnotes

1. Zenk - Lemma 24.1.5 ↩

2. Needham - Abschnitt 4.6.3 ↩