Lokale Lipschitzstetigkeit

Beschreibung

Für eine lipschitzstetige Funktion existiert ein Doppelkegel, dessen Ursprung entlang des Graphen bewegt werden kann, sodass ein Teilgraph, einer Umgebung um den Ursprung stets außerhalb des Doppelkegels bleibt

Definition

Seien

• $k,m,n\in \mathbb{N}$ $k$ ist die Dimension von der $t$-Komponente $n$ ist die Dimension von der $x$-Komponente $m$ ist die Dimension der Bildmenge von $g$
• $D\subseteq {\mathbb{R}}^k\times {\mathbb{K}}^n$, sodass $t\in {\mathbb{R}}^k$ und $x\in {\mathbb{K}}^n$
• $g:\begin{array}{rcl}D& \to & {\mathbb{K}}^m\\ (t,x)& \mapsto & g(t,x)\end{array}$

$g$ heißt Lokal Lipschitzstetig auf $D$ bezüglich $x$, wenn es zu jedem $(t,x)\in D$ eine Umgebung U gibt, sodass $f{|}_{U\cap D}$ Global Lipschitzstetig auf $U\cap D$ bezüglich $x$ ist.

Ist g unabhängig von t, dann muss man bezüglich $t$ natürlich nicht sagen.¹

Satz I

Seien

• $k,m,n\in \mathbb{N}$ $k$ ist die Dimension von der $t$-Komponente $n$ ist die Dimension von der $x$-Komponente $m$ ist die Dimension der Bildmenge von $g$
• $V\subseteq {\mathbb{R}}^k\times {\mathbb{K}}^n$ ein Gebiet
• $g:\begin{array}{rcl}V& \to & {\mathbb{K}}^m\\ (t,x)& \mapsto & g(t,x)\end{array}$

Ist die partielle Ableitung nach der 2. Variable (also $x$) $D_{2}g:\begin{array}{rcl}V& \to & L({\mathbb{K}}^n,{\mathbb{K}}^m)\\ (t,x)& \mapsto & (D_{2}g)(t,x)\end{array}$ stetig, dann ist $g$ lokal Lipschitzstetig.²

Eigenschaften

Auf einem Gebiet ist die Summe/Produkt bzgl. $x$ lokal lipschitzstetiger Funktionen wieder lokal lipschitzstetig bzgl. $x$³

Footnotes

1. Zenk - Definition 18.2.4 ↩

2. Zenk - Satz 18.2.3 ↩

3. Zenk - Bemerkung 18.2.4-5 ↩