Lyapunov-Funktion

Beschreibung

Die Lypunovfunktion ist so etwas wie eine schwächere Version einer Erhaltungsgröße. Bei einer Lypunovfunktion kann der Wert der Funktion entlang einer Trajektorie auch kleiner werden. Man kann es sich wieder als Energie vorstellen: Die Energie in einem System ist abhängig vom Startzustand, nimmt aber im Laufe der Zeit ab.

Definition

Sei x'=v(x)\tag{1} eine Autonome Lipschitzst. DGL

Eine stetig differenzierbare Funktion $V:D\to \mathbb{R}$ heißt Lyapunov-Funktion für $(1)$, wenn $(gradE)(x)\circ v(x)\le 0$ für alle $x\in D$ erfüllt ist.

Eigenschaften

Monotonie

Eine Lyapunov-Funktion $V$ ist entlang einer Trajektorie monoton fallend: $\begin{array}{rcl}V\circ \phi & \to & \mathbb{R}\\ t& \mapsto & V(\phi (t))\end{array}$ fällt monoton