Autonome Differentialgleichung

Beschreibung

Eine autonome DGL ist eine Gewöhnliche Differentialgleichung, bei der die Änderung der Phase nicht von der Zeit abhängig ist. Nicht-autonome Differentialgleichungssysteme lassen sich leicht in autonome Differentialgleichungssysteme umwandeln, sofern man die Zeit als eine zusätzliche Dimension oder Variable betrachten.

Definition

Sei

• $D\subseteq {\mathbb{K}}^d$ ein offener und zusammenhängeder Raum von Zuständen
• $v:D\to {\mathbb{K}}^d$

Eine DGL der Form x' = v(x) \tag{1} heißt autonom.

*Merke, das das DGL hier ein Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung ist. In Arnold war das nicht zwingend notwendig, solange die DGL zeitunabhängig ist.

Lösung

Nulllösungen

Eine Lösung der autonomen DGL $(1)$ ist genau dann konstant mit dem Wert $c\in {\mathbb{K}}^d$, wenn $g(c)=0$

Zeitliche Invarianz

Ist $\lambda (t)$ eine Lösung von $(1)$ dann ist auch $\lambda (t+a)$ eine Lösung von $(1)$

Stabilität um Ruhelagen

Sei $v:D\to {\mathbb{K}}^d$ differenzierbar und $v(\xi )=0$ eine Kritischer Punkt (Differentialgleichung) Berechne die Jacobimatrix $(Dg)(xi)$ und dessen Eigenwerte ${\mu }_1,...,{\mu }_k$

• Ist $Re{\mu }_j<0$ für alle Eigenwerte, dann ist $\xi$ eine asymptotisch stabile Kritischer Punkt (Differentialgleichung) von $(1)$
• Ist $Re{\mu }_j>0$ für einen Eigenwert, dann ist $\xi$ eine instabile Kritischer Punkt (Differentialgleichung) von $(1)$

Die Idee ist, dass sich die Phasengeschwindigkeiten einer Umgebung einer Ruhelage durch eine lineare Abbildung, die gerade die Ableitung in $\xi$ ist approximieren lässt. Somit lässt sich das Problem auf die Überprüfung der Stabilität eines Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung reduzieren.