Diverse Umformungen

Besschreibung

Hier werden diverse Möglichkeiten aufgelistet, eine Explizite Differentialgleichung umzuformen.

Umformung I

Seien

• $V\subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{K}}^d$ ein Gebiet V ist das Gebiet, in dem wir Lösungen suchen werden
• $g:V\to {\mathbb{K}}^d$ stetig
• $I\in \mathbb{R}$ ein Intervall mit nichtleerem Inneren $I$ ist ein Definitionsbereich einer Lösung I muss so klein sein, dass gilt $\{(t,\lambda (t)):t\in I\}\subseteq V$ D.h. Die Lösungskurve liegt in $V$
• $(t_0,x_0)\in V$ ein Startwert

Sei eine Explizite Differentialgleichung mit Startwertproblem x' = f(t, x), x(t_0) = x_0 \tag{1}

$\lambda :I\to {\mathbb{K}}^d$ ist genau dann eine Lösung von $(1)$, wenn

$\lambda$ ist stetig und für jedes $t\in I$ gilt $\lambda (t)=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,\lambda (s))ds$[^1]

Der Satz ist ziemlich fundamental. Inegriert man beginnend zum Zeitpunkt $t_0$ entlang aller Steigungen einer Lösung, so erhält man genau die Lösung zurück.

]: Zenk - Satz 18.1.2