Periodische Spaltfolge (Zugstrecke)

Beschreibung

Führt man unendlich viele Maximale Spaltung (Zugstrecke) hintereinander aus, so erhält eine Maximale Spaltfolge. Ist diese zusätzlich periodisch, modulo der Aktion einer pseudo-Anosovschen Abbildung, so bezeichnen wir die Spaltfolge als periodisch.

Lange Zeit nahm ich an, die periodische Spaltfolge wäre gleichzusetzen mit dem Agol Zykel aber in kawamuroCompleteDescriptionAgol2023a werden die beiden Begriffe klar getrennt.

Satz (Agol)

Sei $\varphi :\Sigma \to \Sigma$ ein Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus mit stabiler Geodätische Laminierung ${\mathcal{L}}^s$ und $(\tau ,\mu )$ passend dazu, dann gibt es $n,m$ sodass $(\tau ,\mu ){\rightharpoonup }^n({\tau }_n,{\mu }_n){\rightharpoonup }^m({\tau }_{n+m},{\mu }_{n+m})$ mit ${\tau }_{n+m}=\varphi ({\tau }_n)$ und ${\mu }_{n+m}=\lambda (\varphi {)}^{-1}{\varphi }_{\ast }({\mu }_n)$.

Agol schreibt, die Maximale Spaltfolge von $({\tau }_n,{\tau }_n)$ ist demnach nach einer Weile periodisch, modulo der Wirkung von $\varphi$ und Reskalierung der Gewichte.

Beweis: Da $\varphi$ die Laminierungen bis auf einen Faktor gleich lässt, sind $(\tau ,\mu )$ und $(\varphi (\tau ),\lambda (\varphi {)}^{-1}{\varphi }_{\ast }\mu )$ äquivalente messbare Zugstrecken. Da $\varphi$ stetig ist und maximale Spaltungen so durchgeführt werden können, dass sie nur eine sehr kleine Umgebung betreffen kommutieren $\varphi$ und die maximale Spaltung. Die beiden Folgen sind damit wohldefiniert. \begin{align} &(\tau, \mu) &&\rightharpoonup (\tau_{1}, \mu_{1}) &&\rightharpoonup ... \rightharpoonup (\tau_{n}, \mu_{n}) \\ &(\phi\tau, \phi_{*}\mu) &&\rightharpoonup (\phi\tau_{1}, \phi_{*}\mu_{1}) &&\rightharpoonup ... \rightharpoonup (\phi\tau_{n}, \phi_{*}\mu_{n}) \end{align} Da $(\tau ,\mu )$ und $(\varphi \tau ,{\varphi }_{\ast }\mu )$ eine gemeinsame maximale Spaltung haben, gibt demnach ein $n+m$, sodass $({\tau }_{n+m},{\mu }_{n+m})=(\varphi {\tau }_n,{\varphi }_{\ast }{\mu }_n)$. Dies impliziert eine Periodizität unter Anwendung von $\varphi$.

*Beobachte, dass das oben keine echte Definition ist. Es wird gesagt, dass die Spaltfolge periodisch ist aber nicht, was eine periodische Spaltfolge ist. Dieses Problem wird in Hodgon und Kawamuro gelöst, wo die Folgen, die aus dem oberen Satz herauskommen werden als periodisch bezeichnet werden. * Nichtsdestotrotz finde ich, dass die Definition ein wenig simplifiziert werden sollte. Eine periodische Spaltsequenz sollte ein Analog für einen Periodischer Kettenbruch sein. Dieser wird prinzpiell immer ohne irgendwelchen Zusatzinformationen angegeben, daher sollten wir bei einer echten Definition auch $\varphi$ ignorieren

Definition (nach mir):

Sei $({\tau }_0,{\mu }_0)$ eine Zugstrecke und $\mathcal{S}$ dessen Maximale Spaltfolge $({\tau }_0,{\mu }_0)\rightharpoonup ({\tau }_1,{\mu }_1)\rightharpoonup ({\tau }_2,{\mu }_2)\rightharpoonup ...$. Wir nennen $\mathcal{S}$ periodisch, wenn es einen Homöomorphismus $\varphi$ gibt, sodass $({\tau }_n,[\mu ])=\varphi ({\tau }_0,[{\mu }_0])$ ($[\mu ]$ ist die projektive Gewichtung). Ist $n$ minimal, so nennen wir $n$ die Periode.

Eigenschaften

Satz:

Beispiele

Beispiel: