Singuläre Euklidische Metrik

Beschreibung

Zwei Transversale Blätterungen definieren eine sogenannte singuläre euklidische Metrik. D.h. eine Metrik, die bis auf Singularitäten euklidisch ist.

Definition

Seien $({\mathcal{F}}^1,{\mu }_1),({\mathcal{F}}^2,{\mu }_2)$ transversale Blätterungen einer Fläche $M$. Die singuläre Metrik ist definiert durch $d{\mu }^2:=d{\mu }_1^2+d{\mu }_2^2$ In einer Karte, die die beiden Blätterungen gemäß der Messfunktion auf horizontale und vertikale Linien abbildet ist die Metrik einfach die euklidische Metrik.

Eigenschaften

Aussehen bei Singularitäten

Das Umkreisen von Singularitäten kann mehr oder weniger als $2\pi$ brauchen. Die Singularitäten sind damit lokal Kegel.

Pfade kürzester Länge

Um eine Singularität (oder einen gewöhnlichen Punkt) gibt es eine Total normale Umgebung, d.h. eine Umgebung, sodass zwischen zwei Punkten eine eindeutige Längenminimierende existiert. Die Geodätische verläuft immer durch die Singularität, wenn der Winkel zwischen den Punkten größer als $\pi$ ist.

Vergleichbarkeit mit Riemannscher Metrik

Die Singuläre Metrik ist vergleichbar mit einer Riemannschen Metrik $g$. D.h. bezeichnet $L_g(c)$ und $L_{\mu }(c)$ die Länge des kürzesten Repräsentanten der Homotopieklasse von $c$, so gibt es $k,K>0$ sodass $k\le \frac{L_g(c)}{L_{\mu }(g)}\le K$

Beispiele

Universelle Überlagerung

Sei $\mathcal{F}$ eine Blätterung auf $M$. Dann hat die Universelle Überlagerung $\tilde{M}$ eine Blätterung $\tilde{\mathcal{F}}$.

lit_maretForcingRelationsPeriodic2018