R-Messbare Funktion

Beschreibung

Die $\mathbb{R}$-Messbare Funktion ist ein Spezialfall einer Messbare Funktion. Da diese andauernd verwendet wird, hat sie sich einen eigenen Artikel verdient.

Definition

Wir nennen eine Funktion, zwischen einem beliebigen Messraum und der Borel Sigma-Algebra von $\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ eine $\mathbb{R}$-messbare Funktion.

Charakterisierungen

Eine Funktion $f$ zwischen den Messräumen $\mathcal{A},B_{\mathbb{R}}$ ist genau dann $\mathbb{R}$ messbare, wenn

1. für alle $a\in \mathbb{R}$ ist $\{f\le a\}:=f^{-1}([-\infty ,a])\in \mathcal{A}$ oder $<,\ge ,>$ die Intervalle $B_{\bar{\mathbb{R}}}$ erzeugen

Eigenschaften

\newcommand{\R}{\mathbb R}

$\text{DeclareMathOperator}\text{Diff}Diff$