Quotientenzugstrecke

Beschreibung

Wir beobachten in Agol Zykel, dass manche Zugstrecken eine Symmetrie besitzen. Manche Gewichte sind gedoppelt. Durch Bilden eines Quotienten können wir die Zugstrecken vereinfachen, führen aber dadurch unter Umständen Singularitäten ein.

Definition

Eigenschaften

Beispiele

Quotient von ${\sigma }_1{\sigma }_3{\sigma }_2^{-1}$

Wir zeichnen die Zugstrecken, beobachten eine Symmetrie und bilden den Quotienten. Es ist möglich, den Quotienten aufzulösen und dadurch an den unterliegenden Zopf zu kommen. Wir wählen eine willkürliche Neubenennung der Bohrungen und lösen auf: We get the Braid ${\sigma }_2^{-1}{\sigma }_1{\sigma }_2$. Conjugating by ${\sigma }_2^{-1}$ returns the more familiar braid ${\sigma }_1{\sigma }_2^{-2}$. Comparing some values we can see that ${\sigma }_1{\sigma }_3{\sigma }_2^{-1}$ and ${\sigma }_1{\sigma }_2^{-2}$ share many things in common.

	${\sigma }_1{\sigma }_2^{-2}$	${\sigma }_1{\sigma }_3{\sigma }_2^{-1}$
Growth Rate	3.73205	3.73205
Entropy	1.31696	1.31696
Train Track length	3	5
Super Summit Set	6	8
Sliding Circuits	6	6

Weiterführung