Submersion (Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

In der Differentialtopologie bezeichnet man eine differenzierbare Abbildung $f:M\to N$ zwischen Mannigfaltigkeiten als Submersion, falls ihr Differential an jeder Stelle surjektiv ist, d.h. falls jeder Tangentialvektor von $N$ ein Urbild $M$ besitzt.

Eigenschaften

Definition einer Blätterung

Wenn $f:M\to N$ eine Submersion ist, dann bilden die Niveaumengen $f^{-1}(y),y\in N$ eine Blätterung von $M$. Da folgt aus dem Satz von der impliziten Funktion

Kanonische Form

Sei $p\le n$ und $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^p$ eine Submersion mit $f(0)=0$. Dann existiert ein lokaler Diffeomorphismus $\varphi$ um $0$ in ${\mathbb{R}}^n$ mit $\varphi (0)=0$ sodass $f\circ \varphi (x_1,...,x_n)=(x_1,...,x_p)$

Lokal Faserbündel

Jede Submersion ist lokal ein Faserbündel, da es sich lokal diffeomorph zu einem Produkt einer Basis und einer Faser ist.

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