This talk will be a review on the recent advances on the Chen-Yang volume conjecture. This conjecture asserts that the Turaev-Viro invariants of a 3-manifold (possibly with boundary) grow exponentially, and the exponential growth rate should be its simplicial volume. We will explain how this conjecture can be connected to Kashaev-Murakami-Murakami’s volume conjecture for colored Jones polynomials, and we will review the different cases that are known. Finally, we will explain some structural results about the exponential growth rate: that it is subadditive under cutting along tori, decreases under Dehn filling, and is bounded by a universal constant times the volume. Finally, we will discuss applications to the AMU conjecture about the detection of pseudo-Anosov mapping classes by quantum representations.
Talk
Es wird im Quantum Invarianten gehen:
- Das -te normalisierte gefärbte Jones-Polynom (Im Folgenden einfach nur Jones-Polynom genannt)
- Reshetikhin-Turaev Invariante
- Turaev-Viro Invariante
Turaev-Viro ist definiert durch eine partielle, Ideale Triangulation. (partiell heißt, dass die Dreiecke gekappte Ecken haben, wenn ich richtig verstehe, soll das die Außenfläche sein)
Die Invariante berechnet sich durch eine State sum. Es handelt sich um eine komplizierte Summe von Produkten von Quantenfaktoren. (Renauds Worte)
Volumenvermutungen
Es gibt zwei Vermutungen, die das Volumen einer Hyperbolische Mannigfaltigkeit berechnen.
Volvermutung 1: (Kashaev, Murakami, Murakami): Volumen errechnet sich als dem asyptotischen Verhalten des Jones-Polynom
Volvermutung 2: (Chen-Yang): Volumen errechnet sich aus dem asptotischen Verhaten der Turaev-Viro-Invariante
Beim Volumen verlangen wir keine hyperbolische Mannigfaltigkeit, weil es andere Methoden gibt, Volumen zu definieren.
Eigenschaften des Volumens
- Additiv under der Zusammenhängende Summe
- Entfernen eines Torus erhöht das Volumen
- Dehn-Filling senkt das Volumen
Known Cases of Chen-Yangs volume conjecture
Die Vermutung 2 stimmt für:
- Achterknoten, Borromäische Ringe
- Fundamental shadow links (Belletti-D-Kalfagianni-Yang 2018)
- Stabil under -cabling (Kabelknoten?)
- Mannigfaltigkeiten mit Volumen
- Hyperbolische Dehn Filings des Achterknoten mit ganzzahliger Steigung (Ohtsuki 2018), dann alle hyperbolischen Fillings des Achterknoten (Wong-Yang 2020)
Ian Agol hat sich auch damit befasst?
Beziehung zwischen den beiden Vermutungen
Es ist in manchen Fällen möglich, die Turaev-Viro-Invariante mit dem Jones-Polynom zu beschreiben. In dem Fall bekommen wir durch Einsetzen die zweite Vermutung.
Vermutung 3: Das Wachstum von mit ist gleich dem letzten Koeffizienten des Jones-Polynom
Wir können statt dem echten Wert den limsup und liminf der Turaev-Viro-Invariante betrachten. Diese haben Verhalten, sehr ähnlich zur Volumenfunktion. Dadurch erhalten wir eine Vergröberung der Volumenvermutung.
Renaud Detcherry gibt dafür eine schnelle Beweisskizze.
Weak Form of the conjecture
Eine einfachere Version der Chen-Yang wird vorgestellt. Das ist nützlich, da es einfacher ist zu zeigen, dass Mannigfaltigkeiten dazugehören. Renaud Detcherry ist jedoch daran interessiert die schwache Vermutung mit Quantendarstellungen (quantum representations) zu verbinden. Diese Vermutung wird als AMU-Vermutung bezeichnet.
Dies hat sogar mir Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus zu tun! Aber ich verstehe den Zusammenhang leider nicht ganz.
Punkt ist: the weak Chen-Yang conjecture implies the AMU conjecture.