Symmetriegruppe

Beschreibung

Definition

Sei $X\subseteq M$, wobei $M$ ein metrischer Raum ist. Die Symmetriegruppe von $X$ ist $Sym(X):=\{\varphi \in Isom({\mathbb{R}}^2):\varphi (X)=X\}$

Beispiel

Gleichseitiges Dreieck

Alle ${\mathbb{R}}^2$-Isometrien erhalten Winkel. Eckpunkte des Dreiecks müssen also auf Eckpunkte abgebildet werden. Da eine Isometrie durch die Bilder der drei Ecken in Allgemeine Position eindeutig bestimmt ist, gibt es für jede Permutation der drei Punkte maximal eine Isometrie.

Die Isometrien sind:

• Identität
• 2-Rotation des Dreiecks
• 3 Spiegelungen des Dreiecks

Die Aktionen sind damit isomorph zu der 3-Diedergruppe

Symmetrien von Polygonen

Siehe Symmetriegruppe eines Polygons

Symmetriegruppe unter Isometrie

Für jede Isometrie $\psi$ gilt $Sym(\psi (M))=\psi Sym(M){\psi }^{-1}$

Das sieht aus wie eine konjugierte Untergruppe

\newcommand{\R}{\mathbb R}