Sakumi Sugawara - Covering spaces and Milnor fiber boundary of hyperplane arrangements

Summary

Combinatorics and topology are connected by hyperplane arrangements. Can we use those arrangements to create bridges between those two subjects?

Milnor fibration

Let $Q$ be a polynomial in multiple variables with complex coefficients. We assume $dQ(0)=0$ and define $V=Q^{-1}(0)$, which is a hypersurface with a singularity at $0$. (due to the derivative condition) This preimage defines a kind of skeleton for the fibration. For example for $z_0^2-z_1^2$ we get to diagonal lines.

We define a Milnor fiber aus $F:=Q^{-1}(1)$. This is a fiber, which follows the skeleton from before. Setting $Q=z_0^2-z_1^2$, the fiber becomes an hyperbole.

Other funny examples include $Q=z_0^2-z_1^3$ giving us a skeleton of a curve with a cusp (typical in algebraic geometry) and $Q=z_0{z}_1{z}_2$ gives as as a skeleton the coordinate planes of ${\mathbb{R}}^3$. The fiber is then a two dimensional hyperbole object in 3d-space.

Miler showed that $Q:C^{l+1}\to V\to {\mathbb{C}}^{\ast }$ is a fiberbundle. (Fibered by preimages of complex values). We define the Milnor fiber boundary as the intersection between the Milnor fiber and a big sphere. (it describes properties in infinity). Sakumi Sugawara explains that this is diffeomorphic to the singularity link.

We give more examples:

• The Torusverschlingung $T(p,q)$ can be described by $Q=z_0^p+z_1^q$.
• Poincare 3-Sphäre $Q=z_0^2+z_1^2+z_3^5$
• Exotische 7-Sphäre

Was die Eigenschaften betrifft, Milnor, Kato-Matsumoto beschreibten die Dimensionalität von $F$ als CW-Komplex und beschrieben es als $n$-zusammenhängend für ein $n$. Es gibt des Weiteren noch einen Zusammenhang zu Hopf-Abbildungen.

Man kann Torusknoten damit beschreiben. Ist das die einzige Methode, den Torusknoten damit zu beschreiben? Ist das eine Invariante?

$2$-Hyperplane Arrangement

Wir definieren $Q={\alpha }_1,...,{\alpha }_n$ mit ${\alpha }_i$ einer linearen Funktion, vermutlich in mehreren komplexen Variablen mit komplexen Koeffizienten (wobei die paarweise verschieden sind)

Dann ist $V=Q^{-1}(0)$ die Vereinigung von Hyperebenen $H_i={\alpha }_i^{-1}(0)$. $Q$ definiert dann ein Hyperebenenarrangement $A$ in ${\mathbb{C}}^{l+1}$.

Wir definieren einige nützliche Objekte.

• $M(A)={\mathbb{C}}^{l+1}-A$
• $F$ wie vorher
• $X(A)=\mathbb{C}{P}^l-\bar{A}$ also die projektive Version des hyperebenenarrangements.

Projektiv darauf zu schauen ist natürlich schlau, schließlich ist die Linearität der Ebenen nicht sonderlich interessant. Wir fragen uns, welche topologische Information von $M,F,X$ “kombinatorisch” determiniert ist. (d.h. durch Information der Schnitte, kurz gesagt) Determiniert sind die

• Betti Zahlen von $M,X$
• Homologiegruppen von $M,X$

Offen sind noch

• Die Betti Zahlen von $F$
• Die Torsion der Homologie $H_{\ast }(F;\mathbb{Z})$ (dies ist aber für $X$ und $M$ bekannt)

Sakumi Sugawara schreibt eine Formel der Homologie $H_{\ast }(F;\mathbb{C})$ auf. Diese hängt irgendwie von irgendwelchen Eigenräumen ab. Am interessantesten sind die Eigenräume mit Wert $-1$ (diese tauchen immer auf, wenn $n$ gerade ist).

Doppelte Überlagerung

Wir untersuchen den Raum $X$. Wir nehmen einen Vektor der