Vektorbündelabbildung

Definition

Eine Vektorraumbündelabbildung ist eine Abbildung zwischen Vektorbündel. Seien $M,N$ Glatte Mannigfaltigkeit, ${\pi }_E:E\to M,{\pi }_F:F\to N$ sind Vektorraumbündel. Eine Vektorraumbündelabbildung $\Phi :E\to F$ ist eine Glatte Abbildung sodass es eine glatte Abbildung $\phi :M\to N$ gibt, sodass ${\Phi }_p=\Phi {|}_{E_p}:E_p\to F_{\varphi (p)}$ ist linear und

kommutiert.

Q: Voraussetzungen Vektorbündelabbildung A: - ${\pi }_F(\Phi (x))=\phi ({\pi }_E(x))$ für $x\in E$

• ${\Phi }_p=\Phi {|}_{E_p}:E_p\to F_{\phi (p)}$ Vektorraumisomorphismus

Eigenschaften

Trivialisation von $E$ zu $F$ ist eine lineare Abbildung

Wie bei Transitionen zwischen Trivialisationen eines Vektorräumbündels definieren wir eine Funktion die zwischen Trivialisationen von $E$ nach $F$ abbilden: Für Trivialisationen $f_U,f_V$ von $E,F$ ist $f_V^{-1}\circ \Phi \circ f_U(q,v)=(\varphi (q),{\Phi }_{UV}(q)(v))$ wobei $\varphi :M\to N$ eine Glatte Abbildung ist und ${\Phi }_{UV}:U\cap V\to GL({\mathbb{R}}^n)$ eine Familien von Lineare Abbildung ist.

Man kann sich die ${\Phi }_{UV}$ vorstellen, wie das Differential an einem Punkt $q$ multipliziert mit dem Vektor $v$.

Beispiele

Abbildungen zwischen Trivialisierbaren Bündeln

Seien $M\times {\mathbb{R}}^{n}N\to M\times {\mathbb{R}}^k\to N$ zwei Vektorbündel. Dann ist jede Vektorraumbündelabbildung $M\times R^n\to N\times R^k$ von der Form $(p,v)\mapsto (f(p),\phi (p)\cdot v)$ für glatte Funktionen $f:M\to N,\phi :M\to {\mathbb{R}}^{k\times n}$.