Erwartungswert

Beschreibung

Der Erwartungswert ist im Allgemeinen bekannt, wir fassen hier einige unbekannte Sachen zusammen.

Definition (Hamming)

Sei $X$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\{x_i\}$ dessen Ereignisse. $p(i)$ gibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses an. Die Funktion $E(X)={\sum }_{i=0}^n{x}_{i}p(x_i)$ gibt den Erwartungswert der Variable $X$ an.

Der Erwartungswert wird manchmal auch mit $\mu$ oder $E_p$ angegeben. Ich habe mich noch für keine Konvention entschieden.

Eigenschaften

Multiplikativität

Seien $X,Y$ zwei Zufallsvariablen mit den Ereigniswerten $x_i,y_j$ und den Wahrscheinlichkeiten $p_X(x_i),p_Y(y_j)$. Dann gilt: $E(XY)={\sum }_i{\sum }_j{x}_i{y}_j{p}_X(x_i)p_Y(y_j)=E(X)E(Y)$

Additivität

Wie oben gilt: $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ (sofern der Erwartungswert existiert) Daraus folgt, dass der Erwartungswert eine Lineare Abbildung auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsräume bildet.

Monotonie

Für zwei Zufallsvariable $X,Y\in {\mathcal{L}}^1$ mit $X\le Y$ gilt $E_{p}X\le E_{p}Y$

Bezug zur $1$-Funktion

Es gilt $E_p{1}_A=P(A)$

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