Monoid

Definition

Eine Halbgruppe $(G,\ast )$ wird Monoid genannt, wenn sie ein Neutralelement besitzt.

Ein Monoid wird zur Gruppe, wenn jedes Element ein Inverses besitzt.

Monoid-Homomorphismus

Sind $(G,\ast )$ und $(H,\circ )$ Monoide, dann ist eine Abbildung, welche mit den Verknüpfungen verträglich ist, d.h. $\varphi (g_1\ast g_2)=\varphi (g_1)\circ \varphi (g_2)$ und das neutrale Element erhält $\varphi (e_G)=e_H$ ein Monoid-Homomorphismus.

Vergleiche auch Homomorphismus. Bemerke, dass ein nicht-neutrales Element auch auf ein neutrales Element abbilden kann.

Eigenschaften

Umwandlung in Gruppe

Sei $(G,\ast )$ ein Monoid und $G^{\times }\subset G$ die Teilmenge der invertierbaren Elemente. Dann ist $G^{\times }$ abgeschlossen unter der Verknüpfung $\ast$ und $(G^{\times },\ast )$ ist eine Gruppe. Das Neutralelement $e_G$ von $G$ ist zugleich das Neutralelement von $G^{\times }$ ¹

Diesen Satz kann man Nutzen um leicht einen Beweis einer Gruppe zu erbringen

Beispiele

Multiplikation der Ganzen Zahlen

Die Mulitplikation auf den ganzen Zahlen ist eine Monoid, da Monoide nicht notwendigerweise ein Inverses Element verlangen.

Menge aller Funktionen

Sei $X$ eine Menge und $Map(X)$ die Menge der Abbildungen $X\to X$. Für $f,g\in Map(X)$ ist die Komposition eine assoziative Verknüpfung mit dem Neutralelement $i{d}_X$.

Damit ist $(Map(X),\circ )$ ein Monoid

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 1.13 ↩