Lemma von Bézout

Definition

Seien $m,n\in \mathbb{Z},(m,n)\ne (0,0)$. Dann gibt es $a,b\in \mathbb{Z}$ mit $am+bn=ggT(m,n)$ ¹

Beweis

Jede Untergruppe einer Zyklischen Gruppe ist Zyklisch.

Insbesondere ist auch die aus $⟨m,n⟩$ erzeugte Untergruppe von $(\mathbb{Z},+)$ zyklisch.

Diese Gruppe besteht aus den Potenzen und des Erzeugendensystem: $\{am+bn:a,b\in \mathbb{Z}\}$

Zeichnet man diese Gruppe auf dem Zahlengerade auf, wird offensichtlich, dass die Gruppenelemente in gleichen Abständen auftauchen (bei einer Zyklischen Gruppe irgendwie offensichtlich) Dieser Abstand ist genau der Größter gemeinsamer Teiler (Natürliche Zahlen). Da $0$ als neutrales Element immer in der Gruppe enthalten ist, ist auch $ggT(m,n)$ in der Gruppe.

Es gibt damit Potenzen $a,b$ sodass $ggT(m,n)=am+bm$

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 3.5 ↩