Ryuma Orita - 2-parameter persistence-modules and rectangular barcodes

Abstract

通常の（1パラメータの）パーシステンス加群が「バーコード」を持つことはよく知られている。ここでバーコードとは，「区間」の多重集合であり，元のパーシステンス加群の情報をよく保持している。一方，パラメータの数が2以上になると，一般にはバーコードを定義できないことが知られている。本講演では，Floer型のホモロジー（Morse, Novikov, Morse-Bott, Floer等）から自然に定まる2パラメータのパーシステンス加群は区間分解可能であり，付随するバーコードが長方形のみからなることを紹介する。また，従来の1パラメータの場合のバーコードからはスペクトル不変量やboundary depthといった不変量が得られていたが，それらの他にも2パラメータ独自の不変量が現れることを説明する。これらは小枝幹汰，矢代海音両氏（新潟大学）との共同研究に基づく。

Talk

Einführung / Motivation

Sei $F=\mathbb{F}$ ein Körper. Wir beschreiben die Morse-Theorie an einem einfachen Beispiel. Betrachte eine Kugel $S^2$, die so deformiert ist, dass sie zwei Spitzen auf Höhe $3$ und $4$ hat. Wir beschreiben vier kritische Punkte auf vier Höhen $\in \mathbb{R}$:

• $1$: Die Kugel beginnt
• $2$: Ein Sattel, bei dem die zwei Bergspitzen entstehen
• $3$: Die erste Bergspitze endet
• $4$: Die zweite Bergspitze endet.

Wir definieren den Sublevel-Set $X^t:=\{x\in X:f(x)<t\}$ als die Menge die von Wasser umflutet wäre, wenn wir den Wasserpegel um die Fläche langsam erhöhen würden. Dann betrachten wir die Homologie der Sublevel-Sets.

Homotopieform	$H_0$	$H_1$	$H_2$
$t\le 1$ Leere Menge	0	0	0
$1<t\le 2$ Hemisphäre	$Fp$	0	0
$2<t\le 3$ Halber Torus	$Fp$	$F\alpha$	0
$3<t\le 4$ Hemisphäre	$Fp$	0	0
$4<t$ Sphäre	$Fp$	0	$F\sigma$
Die Homologien werden über dem Körper $F$ betrachtet und werden repräsentiert durch einen Punkt $p$, eine nicht-triviale Kurve $\alpha$ und eine nicht-triviale Kugel $\sigma$.

Wir sehen, dass die Homologien in diskreten Zeitschritten auftauchen und verschwinden. Das Verhalten dieser Sachen wird in der Persistenzhomologie studiert. Die Funktion in Zeit, die beschreibt, wann die verschiedenen Homologien nicht null sind, wird Barcode genannt.

Wir beobachten. Für $t\le t^{\prime }$ gilt die Inklusion $X^t\subseteq X^{t^{\prime }}$, was eine Inklusion ist und somit einen Homomorphismus zwischen den Homologien $i:H_{\ast }(X^t)\to H_{\ast }(X^{t^{\prime }})$ definiert.

Die Menge aller Homologien wird Persistenzmodul genannt: ${\mathbb{H}}_{\ast }(X^{\cdot }):=(\{H_{\ast }(X^t){\}}_{t\in \mathbb{R}},\{i\})$

Wir wollen Mengen der Form $X^{(a,b)}=f^{-1}(a,b)$ mit Morsehomologie studieren (glaube ich)

Persistenzmodul

Sei $P$ eine geordnete Menge. Wir definieren noch ein paar andere Sachen, die ich nicht ganz verstehe. Daraus bilden wir dann das $P$-Persistenzmodul. Dabei handelt es sich um eine Abbildung $\mathfrak{m}:P\to Vec{t}_F$ Ich bin mir nicht sicher, was mit $Vec{t}_F$ genau gemeint ist.

Wir beschreiben eine Bedingung für die $\mathfrak{m}$ endlich ist.

Als nächstes definieren wir total geordnete Mengen $T_1,...,T_n$ so wie die Halbordnung $T_1\times ...\times T_m$ mit der offensichtlichen induzierten Ordnung. Dann studieren wir das $T_1\times ...\times T_m$-Persistenzmodul.

Intervall (区間)

Sei $P$ eine geordnete Menge. Wir definieren ein Intervall $I\subseteq P$ g.d.w. für alle $x,y\in I$ und für alle $z\in P$ gilt $x\ge z\ge y⟹z\in I$. Wir fordern noch eine zweite Bedingung, die ich nicht ganz verstehe.

An einem zweidimensionalen Beispiel kann man sehen, dass die Intervalle nicht unbedingt begrenzt sein müssen. Es sind außerdem noch ein paar andere lustige Mengen erlaubt, an die man so als erstes gar nicht denkt.

Wir definieren ein Rechteck bezüglich des Produkts $T_1\times ...\times T_m$ als eine Menge, die in den $T_i$ als Produkt von Intervallen geschrieben werden kann.

Für $P=T_1\times T_2$ definieren wir einen Block als ein Rechteck, das nach in zwei Richtungen

• links unten
• rechts oben
• unten, oben oder
• links, rechts

geöffnet ist.

Intervallisierbarkeit (区間分解可能性)

Wir definieren eine Art charakteristische Funktion $F_I$, die Werte $x$ aus $P$ annimmt und den Körper $F$ ausspuckt, wenn $x\in I$ und sonst $0$. $F_I$ wird Intervallmodul genannt.

Normal Form Theorem (Botnan et al 2020): Sei $T$ eine total geordnete Menge und $\mathfrak{m}$ ein $T$-Persistenzmodul. Dann gibt es eine Zerlegung $\mathcal{B}(\mathfrak{m})$ von $T$ in Intervalle, sodass das Persistenzmodul als eine direkte Summe über den charakteristischen Funktionen geschrieben werden kann. Ich glaube, das soll uns ein bisschen daran erinnern, wie wir das Einführende Beispiel in Intervalle unterteilt haben.

Im Allgemeinen ist aber eine derartige Invervallisierung des Persistenzmoduls nicht möglich. Wir differenzieren Persistenzmodule danach, ob sie zerlegbar sind oder nicht und danach ob eine sogar eine Zerlegung in Rechtecke oder Blöcke möglich ist.

Diese Intervallisierung ist anscheinend in gewissen Sinne eindeutig und wird Barcode genannt.

Wir definieren ein $T_1\times T_2$-Persistenzmodul $\mathfrak{m}$ als schwach exakt, g.d.w. irgendeine Bedingung erfüllt ist. Als nächstes machen wir ein wenig Algebra mit Bildern und Kernen von Abbildungen zwischen Persistenzhomologien. Wir erhalten ein Kommutatives Diagram, dass etwas beschreibt.

Ein Satz von Botman et al, 2023 zeigt, dass eine $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$-Persistenzmodul in Rechtecke Zerlegbar ist, g.d.w. es schwach exakt ist.

Morse-Homologie

Für eine geschlossene Mannigfaltigkeit $M$ und eine Morsefunktion $f:M\to \mathbb{R}$ definieren wir $C_k(f):={⨁}_{p\in Cri{t}_k(f)}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}p$ als das Kettenkomplex, definieren eine Differentialabbildung und bilden daraus die sogenannte Morse-Homologie.

Filtration

WIr betrachten Sachen namens Filtration. Diese sind irgendwie aus den Kettenkomplexen der Morsefunktion definiert.

Der Vortrag geht damit weiter, dass wir uns ganz viele induzierte Abbildungen zwischen Kettenkomplexen und Homologiegruppen ansehen.

Ich hatte gerade eine Eingebung. Kann es sein, dass Homologiegruppen gar nichts mit Löchern in Mannigfaltigkeiten zu tun haben, sondern einfach nur Werkzeuge sind, Informationen in Vektorräumen mit Pfeilen dazwischen zu speichern? In dem Falle ist es gar keine gute Idee, alles topologisch auf Zykel zurückzuführen. Es wird sowieso nicht funktionieren.

Hauptsatz

Der Hauptsatz beschreibt eine Homologie in zwei Parametern, die in Rechtecke zerlegbar ist. Der Barcode ist eine zweidimensionale Verallgemeinerung, der beschreibt, für welche Parameter die Homologie welche Werte annimmt.