e man aus einer Riemannsche Metrik eine Metrik auf einer Glatte Mannigfaltigkeit definiert. Es handelt sich um die Verallgemeinerung der Pfadmetrik auf Mannigfaltigkeiten.
Definition
Sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein Stückweiser Differenzierbarer Weg.
Die Länge des Pfades errechnet sich durch:
Das ergibt die Pfadmetrik
Eigenschaften
Nie unendlich
Befinden sich in der gleichem Zusammenhangskomponente, so ist die Pfadmetrik immer endlich.
Induziert die Topologie der Mannigfaltigkeit
Die induzierte Topologie der definierten Pfadmetrik ist genau die Topologie der Mannigfaltigkeit.
Das erlaubt uns topologische Eigenschaften metrisch zu beweisen!