Lie Ableitung

Beschreibung

Die Lie-Ableitung ermöglicht, ein Tensorfeld, ein Vektorfeld (Vektorraum), eine Differentialform oder auch einfach eine skalarwertige Funktion entlang eines Vektorfelds abzuleiten.

Sie gibt an, um was für einen Wert sich das Tensorfeld verändert, wenn man einem Vektorfeld folgt.

Sie ist eien Verallgemeinerung der Ableitung entlang eines Vektorfeldes und der Lie-Klammer

Definition Skalarfunktionen

Sei $X:M\to TM$ ein Glattes Vektorfeld (Mannigfaltigkeit). $X$ kann als Differenzierungs-Operator auf glatten Funktionen $f$ betrachtet werden.

Wir definieren im euklidischen Raum: $X(f)(p)=D_{X(p)}f(p)$ Auf einer Glatte Mannigfaltigkeit muss der Ausdruck in Karten verstanden werden.

Definition mit lokalen Einparametrigen Gruppen

Die Lie Ableitung zu einem Vektorfeld (Vektorraum) $X$ ist die lineare Abbildung $L_X:\Gamma (T_q^{p}M)\to \Gamma (T_q^{p}M)$ die den Schnitt $S$ auf das Tensorfeld $\left(\frac{d}{dt}\right)({\varphi }_t^{\ast }S){|}_{t=0}$ abbildet. ${\varphi }_t$ ist die Lokale Einparametrige Gruppe von $X$.

Definition durch Produktregel

Die Lie Ableitung ist der Operator, der durch folgende Eigenschaften eindeutig definiert ist.

1. Für $C^{\infty }(M)$, $L_{X}f=df(x)=Xf$
2. Für $Y\in \Gamma (TM)$, $L_{X}Y=[X,Y]$
3. Für Tensoren $S,T$ gilt $L_X(S\otimes T)=L_{X}S\otimes T+S\otimes L_{X}T$
4. Für jeden $(p,q)$-Tensor $S$ und jede Kontraktion (Tensortheorie) $c$ gilt $L_X(c(S))=c(L_{X}S)$

Die letzten beiden Eigenschaften folgen aus der ersten Definition durch die Differenzierung von ${\varphi }_t^{\ast }(S\otimes T)={\varphi }_t^{\ast }\otimes {\varphi }_t^{\ast }T$ und ${\varphi }_t^{\ast }(c(S))=c({\varphi }_t^{\ast }S)$ Das ist dann zumindest einfach für Differentialformen zu zeigen.

Definition für Differentialformen (Cartan-Formel)

Ist $\omega \in {\Omega }^k(M)$ eine $k$-Differentialform und $X$ ein Vektorfeld (Vektorraum), so setzen wir mit Hilfe des Inneres Differential (Mannigfaltigkeit): ${\mathcal{L}}_X\omega =d{ı}_X\omega +{ı}_{X}d\omega$

Ist $\omega$ eine Funktion, so ist die Lie-Ableitung die punktweise Richtungsableitung in Richtung des Vektorfeldes: ${\mathcal{L}}_{X}f={ı}_{X}df=df(X)=Xf$

Eigenschaften

Leibnizregel

Lie-Ableitungen folgen der Leibnizregel/Produktregel: ${\mathcal{L}}_X(\omega \wedge \eta )={\mathcal{L}}_X\omega \wedge \eta +\omega \wedge {\mathcal{L}}_X(\eta )$

Globale Derivation

Für ein beliebiges Vektorfeld $X$, ist $X\to {\mathcal{L}}_X$ ein Isomorphismus vom Vektorraum der Vektorfelder auf den Vektorraum der Globale Derivation.

Es spiegelt damit die Isometrie $T_p\cong T_p^{der}$ wieder.

Jacobi-Identität

Die Lie-Klammer erfüllt die Jacobi-Identität: $[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$

Freundlich bezüglich Klammer

Es gilt: $L_X{L}_Y-L_Y{L}_X=L_{[X,Y]}$

lit_gallotRiemannianGeometry2004