Ping-Pong Lemma

Beschreibung

Das Ping-Pong-Lemma gibt ein Kriterium, wann eine Gruppe, die auf einer Menge wirkt eine Freie Gruppe ist.

Definition

Das Ping Pong Lemma lässt sich am besten durch ein Beispiel erklären

Beispiel

Quotientenmannigfaltigkeit der Poincaré Scheibe

Betrachte die Poincaré-Scheibe $S$. Wir nutzen nun die Nord-Süd-Dynamik, um eine freie Gruppe zu konstruieren.

Seien \alpha, \beta \in Isom^+(\H^2) hyperbolische Isometrien der Hyperbolischen Geometrie. Wähle zwei Geodäten $a,b$, sodass $a,b,\alpha (a),\beta (b)$ die Scheibe in $5$ Zusammenhangskomponenten $U_{\pm }^a,U_{\pm }^b$ und einem zentralen $C$.

Nach der Nord-Süd-Dynamik wird die Untermenge $S\backslash U_{-}^a$ durch $\alpha$ nach $U_{+}^a$ abgebildet. Außerdem wirddie Untermenge $S\backslash U_{-}^b$ durch $\beta$ nach $U_{+}^b$ abgebildet. Das Ping-Pong Lemma, sagt uns nun, dass die Gruppe $\text{wink}\alpha ,\beta$ eine Freie Gruppe. Außerdem wirkt ist die Gruppenwirkung eine Eigentlich Diskontinuierliche und freie Gruppenoperation, wir können also eine Quotientenmannigfaltigkeit bilden.