Tangentialraum als Lineare Derivation

Beschreibung

Wir bekommen die Idee, dass in ${\mathbb{R}}^n$ jeder Tangentenvektor eine Richtungsableitung auf Funktionen induziert. Aus dem Gedankengang heraus charakterisieren wir Tangentenvektoren als Lineare Derivation. Die Menge aller Linearen Derivationen $T_p^{der}$ beschreibt einen Tangentenraum.

Dieses Konzept ist ein etwas schwer zu verstehen und verdient daher eine eigene Behandlung in einem Artikel.

Definition

Sei $M$ eine Glatte Mannigfaltigkeit. Ein Tangentenvektor $v$ ist eine Lineare Derivation der Algebra ${\tilde{F}}_m$ der Funktionenkeime.

Wir erhalten dadurch den Vektorraum des Tangentialraums.

Eigenschaften

Isomorph zu $(F_m/F_m^2{)}^{\ast }$

Der Tangentialraum ist isomorph zu $(F_m/F_m^2{)}^{\ast }$.

Die Isomorphie erhalten wir auf folgende Weise: Sei $v\in T_{p}M$ eine Lineare Derivation. Dann ist $v$ eine Lineare Abbildung. $v$ verschwindet für Werte aus $F_p^2$, denn $v(fg)=f(p)v(g)+v(f)g(p)=0$. Sei nun Umgekehrt $l\in (F_m/F_m^2{)}^{\ast }$. Wir definieren den Tangentenvektor $v_l$ als die Abbildung $v_l(f)=l([f-f(p){]}_{F_m/F_m^2})$.

Was Sinn ergibt. $l$ misst Werte aus $F_m/F_m^2$.

Die Idee ist hier, dass $F_m/F_m^2$ alle Funktionen enthält, die bei $p$ verschwinden, geteilt durch die Funktionen, deren erste Ableitung $0$ ist. Da wir Lineare Derivationen als Kovektoren verstehen, dualisieren wir den Raum.

Basis

Sei $(U,x^1,...,x^n)$ ein Koordinatensystem auf einer Glatte Mannigfaltigkeit $M$ mit $p\in U$. Dann ist $\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p=\frac{\partial f\circ {\phi }^{-1}}{\partial x^i}{|}_{\phi (p)}$ eine Basis von $T_{p}M$.

Schließlich handelt es sich intuitiv um einen Differentialoperator, der eine Funktion nimmt, und die Steigung in Richtung $x^i$ ausgibt. Es verhält sich demnach genau wie eine Derivation.

$T_p^{der}\cong T_p^{coord}$

Nach oberer Eigenschaft erhält man für ein Koordinatensystem $(U,x^1,...,x^n)$ die Basis $\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p$. Diese Basis erhält man durch Dualisierung der Basisvektoren $x_i$ des Koordinatensystems.

Beweis: Beobachte, dass $x_i-x_i(p)\in F_p/F_p^2$ liegt. Die Elemente $\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p$ sind deren dualen Elemente. Man kann zeigen, dass die $x_i-x_i(p)$ eine Basis von $F_p/F_p^2$ bilden.