Quotientenmetrik

Definition

Falls $G\circlearrowleft (M,g)$ eine Gruppenwirkung durch Isometrien eigentlich diskontinuierlich und frei, ergibt der Quotient $M/G$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M/G,\bar{g})$ mit einer natürlichen Riemannsche Metrik sodass die Quotientenabbildung $\pi :(M,g)\to (M/G,\bar{g})$ eine lokale Isometrie ist. $\bar{g}$ ist definiert durch ${\bar{g}}_{\bar{p}}(\bar{v},\bar{w})=g_p(d_p{\pi }^{-1}\bar{v},d_p{\pi }^{-1}\bar{w}),p=\bar{p}{|}_U^{-1}$

Die obere Projektionsabbildung $\pi$ ist wie eine Überlagerung und die Gruppe $G$ ist die Decktransformation. Da wir hier Isometrien statt Homomorphismen behandeln, könnte man die obere Aussage verstärken. Siehe Quotientenmannigfaltigkeit Eine Gruppenwirkung einer Gruppe durch Isometrien auf einer Mannigfaltigkeit ist ein Homomorphismus der Gruppe auf die Gruppe der Isometrien

Beispiele

2-Torus

Sei ${\mathbb{Z}}^2\circlearrowleft {\mathbb{R}}^2$ durch Translationen. Dann erhält man eine Riemannsche Metrik auf $R^2/Z^2=S^1\times S^1$

Kegel

Betrachte den Winkel $\alpha =2\pi /n$. Sei $R_{\alpha }$ eine Rotation von ${\mathbb{R}}^2\backslash \{0\}$ um $\alpha$. D.h. $\text{wink}{R}_{\alpha }\circlearrowleft {\mathbb{R}}^2\backslash \{0\}$. Der Quotient ist ein Kegel.

Projektiver Raum

Siehe Projektiver Raum

Komplexer Projektiver Raum

Siehe Komplexer Projektiver Raum