Parkettierung der Hyperbolischen Ebene

Beschreibung

Es ist möglich, eine Parkettierung der Euklidischen Ebene zu definieren. Das wirft die Frage auf, ob gleiches auch für die Hyperbolische Geometrie möglich ist.

Definition

Eigenschaften

Beispiele

Parkettierung durch Reguläre Polygone

In der Hyperbolischen Ebene kann man die Ebene durch Regelmäßiges Polygon mit $n\ge 5$ parkettieren. Das Vorgehen ist ganz einfach. Wir nehmen die Poincaré Scheibe als Modell her.

Wir zeichnen ein kleines $n$-Eck in die Mitte der Scheibe. Die Winkel des $n$-Ecks sind ungefähr die Winkel eines eukidischen $n$-Ecks, da die Poincare Scheibe in der Mitte lokal euklidisch aussieht. Wenn wir aber nun das $n$-Eck vergrößern, dann werden die Kanten zu Bögen, die sich nach innen biegen. Durch weiteres Vergrößern kann man dann die Winkel des $n$-Ecks beliebig klein, also auch $2\pi /n$ werden lassen. Durch Rotation (Erzeugbar durch Inversion) an den Ecken kann man dann das $n$-Eck auf Kopien abbilden lassen. Die Kopien bilden ein periodisches Muster.

lit_thurstonThreeDimensionalGeometryTopology2014