Hessesche (Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Die Hessesche ist eine Verallgemeinerung der Hesse-Matrix auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Definition

Definition

$Hess(f)(X,Y)=XYf-({\nabla }_{X}Y)f=({\nabla }_{X}df)(Y)$

Eigenschaften

Wert entlang Geodätischen

Sei $c:[a,b]\to B$ eine Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit). Dann gilt $Hess(f)(\dot{c},\dot{c})=(f\circ c{)}^{\prime \prime }$

Für ein $v\in T_{p}M$, realisiert durch $c$ gilt: $(Hessf)(v,v)=(f\circ c{)}^{\prime \prime }(0)=\Vert v{\Vert }^2$ wie man durch Einsetzen des Exponential (Geodätische) sehen kann.

Positiv definit

Die letzte Eigenschaft zeigte, dass die Hessesche in einem Punkt positiv definit ist. Da die hessesche nach der letzten Eigenschaft glatt ist, ist die Hessesche sogar in einer kleinen $\epsilon$-Umgebung positiv definit.